Рекуррентная последовательность x-1/x

[cooper]

Конечно же два последних предложения не верны.
Сравнивать с $\pi/2$ необходимо аргумент котангенса.

[Alex_J]

Обратная последовательность в пределе имеет явный вид.
Можно показать, что $y_m\to\sqrt{2m}$ при $m\to\infty$.
При этом разность $y_m-\sqrt{2m}$ ведёт себя почти как обратная экспонента. Подробности выясняются.

[g______d]

Из того, что сказал cooper, следует, что это отображение, с точностью до замены переменной (conjugacy), является отображением удвоения (doubling map), про которое, скажем так, довольно много известно.

[Alex_J]

g______d

Да, только в формуле там также ошибка: должен быть минус. И не нужна такая изощрённая замена с корнями, т.к. исходное выражение $x-\frac 1 x $ это и есть удвоенная тригонометрическая замена. Т.е.

$$x-\frac 1 x = -2\ctg{2\arctg{x}}$$

[g______d]

Alex_J в сообщении #1099195 писал(а):

И не нужна такая изощрённая замена с корнями

Я так понял, что она нужна для того, чтобы выражение имело вид $f^{-1}\circ D \circ f$, где $D$ -- отображение удвоения. Далее все возможные утверждения про динамику, траектории и т. п. будут такими же, как и для отображения удвоения, только в других координатах. End of story.

[cooper]

Alex_J в сообщении #1099195 писал(а):

g______d

Да, только в формуле там также ошибка: должен быть минус. И не нужна такая изощрённая замена с корнями, т.к. исходное выражение $x-\frac 1 x $ это и есть удвоенная тригонометрическая замена. Т.е.

$$x-\frac 1 x = -2\ctg{2\arctg{x}}$$

Если вместо арккотангенса написать арктангенс, тогда конечно минус нужен.

А вообще тема довольно интересная.
Много информации есть в книге Нечепуренко М.И. "Итерации вещественных функций и функциональные уравнения"
В частности там рассматриваются и итерации дробного порядка, которыми, как я понял, вы также интересуетесь.

[milkka]

Спасибо, было очень познавателньо.

По поводу применения. Недавно столкнулась с реальной задачей в биоинформатике, связанной с оценкой количества мутаций, вероятности мутирования. Там был построен процесс, в доказательстве сходимости которого как раз фигурируют похожие соотношения. Применение обычно находится там, где его совсем не ждешь