помогите решить систему сравнений

[voipp]

вот сабж
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - z \equiv 1 \\ x + 2y + z \equiv 2 \ \ \ (mod \ 5) \\ x + y - z \equiv -1 \end{array}\right $

необходимо решить эти сравнения, в википедии видел сравнения лишь для систем с 1й переменной. как решить вот это?
PS взято из учебника по линалу от безумного Кострикина

[Cash]

Вы можете умножать обе части любого уравнения на любое число, складывать уравнения - сами подумайте почему. То есть решать как обычную систему.

[voipp]

Cash в сообщении #684461 писал(а):

Вы можете умножать обе части любого уравнения на любое число, складывать уравнения - сами подумайте почему. То есть решать как обычную систему.

да я понимаю, в этом случае остатки от деления левых и правых частей совпадут с 0. Но ведь исходная система эквивалентна вот таким системам

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - z = 5a \\ x + 2y + z = 5b \\ x + y - z = 5c \end{array}\right $

где $a,b,c$ целые числа. Тогда надо получить и такие решения для включения в ответ

[Cash]

voipp в сообщении #684473 писал(а):

Но ведь исходная система эквивалентна вот таким системам

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - z = 5a \\ x + 2y + z = 5b \\ x + y - z = 5c \end{array}\right $

где $a,b,c$ целые числа.

Я вижу только одну систему. И исходная ей не эквивалентна

[voipp]

Cash в сообщении #684484 писал(а):

voipp в сообщении #684473 писал(а):

Но ведь исходная система эквивалентна вот таким системам

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - z = 5a \\ x + 2y + z = 5b \\ x + y - z = 5c \end{array}\right $

где $a,b,c$ целые числа.

Я вижу только одну систему. И исходная ей не эквивалентна

почему не эквивалентна ? возьмите все $a,b,c$ равными , например, 1.Решите эту систему. Далее подставьте это решение в первую систему, возьмите от каждого уравнения остаток от деления и получите 0. А правые части и так дают 0 в остатке. Это же очевидно

[Cash]

voipp в сообщении #684490 писал(а):

возьмите от каждого уравнения остаток от деления

Я не в курсе такой операции.

voipp в сообщении #684490 писал(а):

Решите эту систему.

Вот и чудесно, только решать Вам. Покажите...

[voipp]

прошу прощения.Я неправильно записал предыдущую систему. Вот ее вид
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - z = 5a + 1mod(5) \\ x + 2y + z = 5b+2mod(5) \\ x + y - z = 5c-1mod(5) \end{array}\right $

[Mathusic]

voipp в сообщении #684499 писал(а):

Вот ее вид

Это ненужное усложение.

voipp в сообщении #684459 писал(а):

как решить вот это?

Вам знакомо понятие поле? Если нет -- то ознакомьтесь.

Cash в сообщении #684461 писал(а):

Вы можете умножать обе части любого уравнения на любое число, складывать уравнения

Решайте систему как обычную систему в целых числах, только действуйте с ними, как с остатками от деления на $5$. (ну и на числа, кратные пяти умножать уравнение нельзя, конечно же)

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Вычислить

$$\left(\begin{array}{ccc}2&1&-1\\1&2&1\\1&1&-1\end{array}\right)^{-1}\!\left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right)$$

над полем $\mathbb Z_5$.

[Mathusic]

(Оффтоп)

Joker_vD
Думаете вашим советом вы помогли ТС, а не запутали только?

[Joker_vD]

Да нехай с $\left\{ \begin{array}{l} 2x + y - z = 5a + 1 \\ x + 2y + z = 5b+2 \\ x + y - z = 5c-1 \end{array}\right$ работает, в самом-то деле. Сложить, вычесть... может, и заметит, что все эти $5a$, $5b$, $5c$ справа так и будут кратны пяти.

[voipp]

Joker_vD в сообщении #684503 писал(а):

(Оффтоп)

Вычислить

$$\left(\begin{array}{ccc}2&1&-1\\1&2&1\\1&1&-1\end{array}\right)^{-1}\!\left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right)$$

над полем $\mathbb Z_5$.

спасибо за очевидное решение!) только я еще не разобрался что значит "над полем"

[voipp]

все понял. спасибо за подсказки

[voipp]

при решении системы над полем возникли проблемы(точнее решение тормозится) с делением. Вот если я отнимаю от 2й строки первую , деленную на 2 то новый элемент во 2й строке и 2м столбце будет равен 4! Его нахождение нетривиально! И вывести какую-то простую формулу для деления внутри данного поля я не смог и не нашел.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

voipp в сообщении #684459 писал(а):

PS взято из учебника по линалу от безумного Кострикина

А чем учебник Кострикина не нравится? Для матфака - самоё то.

-- Сб фев 16, 2013 18:32:05 --

voipp в сообщении #684676 писал(а):

! И вывести какую-то простую формулу для деления внутри данного поля я не смог и не нашел.

Ну, таблицу умножения Вы же можете нарисовать?