Полость внутри звезды

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #684773 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #684186 писал(а):

Уравнение окружности в полярной системе координат в произвольной точке выглядит так:
$r^2-2rr_0cos(\phi-\theta)+r_0^2=a^2$, в точке $(r_0;\theta)$.
В Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EE%EB%FF%F0%ED%E0%FF_%F1%E8%F1%F2%E5%EC%E0_%EA%EE%EE%F0%E4%E8%ED%E0%F2

Обращаю внимание, $a$ - это просто число, точнее радиус окружности. А величина радиуса окружности не меняется.

Ага. У меня под корнем как раз и стоит левая часть уравнения окружности. В немного других обозначениях. А Вы пишете глупости, потому что вместо того, чтобы честно вычислить, пытаетесь угадать.

[Евгений Машеров]

Ну, начните с одномерной задачи. В которой две тяготеющие точки на прямой. И посмотрите, при каком законе на точку меж ними равнодействующая сил притяжения будет нулевой.

[Побережный Александр]

Munin в сообщении #684777 писал(а):

Разберитесь в доказательстве, и поймёте. Главный момент доказательства, это что две степени взаимно сокращают друг друга: одна duplicata ratio directa за счёт площади superficiei sphæricæ particularum, другая inversa - за счёт virium decrescentium. Если у вас вместо superficiei что-то другое, то и ratio будет другая, и vis должна быть тоже.

Давайте попробуем разобраться в доказательстве.
Рассмотрим сферу, на которой масса распределена равномерно. Из утверждения Ньютона получаем такую картинку. Внутри сферы выбирается произвольная точка, коническая поверхность с вершиной в этой точке отсекает на сфере некоторые фигуры площадью $S_1$ и $S_2$. Так как они обладают массой, то обе фигуры воздействуют на тело в вершине конусов. Ньютон считает, эти силы равны. То есть $F_1=F_2$. Распишем подробнее эти силы по закону всемирного тяготения.
$G\frac{mM_1}{R_1^2}=G\frac{mM_2}{R_2^2}$, далее $G\frac{m\rho V_1}{R_1^2}=G\frac{m\rho V_2}{R_2^2}$, если считать, что толщина сферы $dh$, то $G\frac{m\rho S_1 dh}{R_1^2}=G\frac{m\rho S_2 dh}{R_2^2}$. После сокращений получаем $\frac{S_1}{R_1^2}=\frac{S_2}{R_2^2}$ или $\frac{S_1}{S_2}=(\frac{R_1}{R_2})^2$. Другими словами, если отношение площадей равно квадрату отношений образующих, то силы должны быть равны.
Чтобы исследовать такую схему, рассмотрим следующий случай: для произвольной точки (кроме центра окружности) построим коническую поверхность такую, чтобы один конус опирался на самую большую окружность сферы, а образующая этого конуса с плоскостью этой окружности образовала угол в $30^0$.
Сечение сферы будет таким http://itmages.ru/image/preview/900853/b63a1153
Понятно, что диаметр окружности основания малого конуса в два раза меньше диаметра окружности основания большого конуса. Такое же соотношение выполняется и для образующих. Если бы масса была расположена на плоских основаниях конусов, то выполнялось бы условие Ньютона $\frac{S_1}{S_2}=(\frac{R_1}{R_2})^2$. Но масса расположена именно на сферических участках. Соответственно надо вычислить площади отсекаемых сегментов сферы. Поскольку большой конус опирается на самую большую окружность, то величина этого сегмента $S_1=2\pi R^2$. Величину сегмента для меньшего конуса вычисляем по формуле $S=2\pi R^2 (1-\cos(\alpha))$, где $\alpha$ - зенитный угол. Соответственно, площадь сегмента малого конуса $S_2=2\pi R^2 (1-\frac{\sqrt3}{2})$. Как видим , требуемое соотношение не выполняется. Следовательно, теорема Ньютона сформулирована не корректно и ссылаться на нее нельзя.

[Munin]

Вы забыли об условии того, что конусы узкие, угол при вершине мал. Построенный вами контрпример нарушает именно это условие.

[Побережный Александр]

Но конусы не могут быть узкими, если пробное тело приближается к самой сфере. Можно предположить, что утверждение Ньютона - это первое приближение к реальным значениям.

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #685144 писал(а):

Но конусы не могут быть узкими, если пробное тело приближается к самой сфере.

Ерунду пишете. Конус мы можем взять настолько узким, насколько это потребуется. А для широкого конуса силу притяжения нельзя считать по такой формуле, по которой Вы считаете, она справедлива только для очень маленьких тел, размеры которых много меньше расстояния между ними. Именно поэтому и нужно рассматривать очень узкие конусы. А из узких конусов уже составляется конус любой ширины.

[Евгений Машеров]

Побережный Александр

Мне кажется, что Вы пытаетесь изобрести своё собственное интегральное исчисление, но ещё не разобрались с предельным переходом...

[Побережный Александр]

Уважаемый Someone, а как можно из узких конусов заполнить шар? Куда девать щели?

Евгений Машеров в сообщении #685166 писал(а):

Мне кажется, что Вы пытаетесь изобрести своё собственное интегральное исчисление, но ещё не разобрались с предельным переходом...

Уважаемый Евгений Машеров, как раз я и использую интегральное исчисление Ньютона, чтобы убрать противоречия. Пример с массивным обручем тому доказательство. Были сделаны конкретные вычисления, если я сделал ошибку в вычислениях, то подскажите где. Напрасно вы думаете, что я не признаю свои ошибки.

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #685246 писал(а):

Уважаемый Someone, а как можно из узких конусов заполнить шар? Куда девать щели?

Какие "щели"? Ах, да... Вы же воображаете, что "конус" - это обязательно прямой круговой конус. Представьте себе, что конус бывает не только прямым и не только круговым. Он ограничен произвольной конической поверхностью, а коническая поверхность получается движением прямой, проходящей через некоторую фиксированную точку (вершину) и в процессе движения пересекающей произвольно заданную линию.

[Побережный Александр]

Тогда есть смысл заполнять шар треугольными пирамидами, чтобы сделать предельный переход. В этом случае придется отказаться от доказательства Ньютона и доказать его по другому. Именно нестрогость в доказательстве меня и смутила.

[Евгений Машеров]

Я же говорю - изобретаете своё собственное интегральное исчисление.

(Оффтоп)

С зернью и прелестницами.

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #685270 писал(а):

В этом случае придется отказаться от доказательства Ньютона и доказать его по другому

В доказательстве Ньютона не надо менять ни одного слова.

[Побережный Александр]

Someone, тогда вы должны указать, чем заполнять шар! Конусы не проходят.

[Алексей К.]

Вроде уже указывалось: заполнять учебниками по матанализу.

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #685307 писал(а):

Конусы не проходят.

Проходят. Только не круговые.