Полость внутри звезды

[Побережный Александр]

Я в самом деле прочитал Крылова, за что ему и спасибо.
Но я хотел бы проверить утверждение Ньютона математикой.
Давайте рассмотрим обруч с равномерно распределенной массой.
Такую задачу можно рассмотреть в плоскости.
У нас есть окружность радиуса $R$. Центр окружности будет связан с системой координат.
Попробуем узнать ускорение в точке внутри окружности расположенной левее начала координат на расстоянии $R/2$.
Обратимся к полярной системе координат.
Уравнение окружности в полярной системе координат в произвольной точке выглядит так:
$r^2-2rr_0cos(\phi-\theta)+r_0^2=a^2$, в точке $(r_0;\theta)$.
В Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EE%EB% ... 8%ED%E0%F2
Пусть $x$ - это $r_0$. Эту точку обозначим $X$.
Тогда в нашем случае координаты точки $X$ в полярных координатах будут $(x;-\pi)$. Соответствующим станет и уравнение окружности:
$r^2+2rr_0cos(\phi)+x^2=R^2$
Выразим $r$, получим два варианта.
$r_1=\sqrt{(R^2-x^2)+x^2cos^2(\phi)}-xcos(\phi)\geqslant0$
$r_2=-\sqrt{(R^2-x^2)+x^2cos^2(\phi)}-xcos(\phi)\leqslant0$
Естественно работаем с первой формулой.
$r$ - величина, которая указывает какое расстояние от точки $X$ до окружности при угле $\phi$.
Теперь вычисляем ускорение.
Для каждой точки на окружности $da=G\frac{dM}{r^2}=G\frac{d\frac{\phi}{2\pi}}{(\sqrt{(R^2-x^2)+x^2cos^2(\phi)}-xcos(\phi))^2}$
Осталось проинтегрировать от $-\pi$ до $\pi$
Выберем конкретное значение $x=R/2$ после преобразований получим
$a=\frac{2G}{\pi R^2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{d\phi}{(\sqrt{3+cos^2(\phi)}-cos(\phi))^2}$
Если посчитать этот интеграл, он не равен нулю. Но ведь Ньютон утвердает именно равенство нулю.
Если я ошибся где-нибудь, подскажите.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность)

Плоскость и пространство имеют разное число измерений.

[Someone]

Бред какой-то, а не вычисление.
1) Не связывайтесь с полярными координатами сразу. Сначала напишите выражение для силы в декартовых координатах, а потом, если будет надо, перейдёте к полярным.
2) Учтите, что сила имеет не только величину, но и направление. Направление силы в формуле учитывать необходимо.
За образец возьмите http://dxdy.ru/post296234.html#p296234. Учтите только , что там вычисляется сила отталкивания, а не притяжения.

[Munin]

Побережный Александр в сообщении #684186 писал(а):

Такую задачу можно рассмотреть в плоскости.

В плоскости теорема Ньютона не работает.

В плоскости есть аналог теоремы Ньютона - для силы, обратно пропорциональной не квадрату, а первой степени расстояния. Можете потренироваться на этом аналоге.

[Побережный Александр]

Евгений Машеров в сообщении #684191 писал(а):

Плоскость и пространство имеют разное число измерений.

В примере рассматривается пространственная фигура. Вычисления производились для массивного обруча или бесконечно тонкого тора. Здесь именно трехмерное пространство. Поэтому я предположил, что для обруча применяется теорема Ньютона. В чем некорректность такого предположения?

Munin в сообщении #684382 писал(а):

В плоскости теорема Ньютона не работает.

А если взять цилиндр, грубо говоря, трубу? Здесь будет работать теорема Ньютона? Ньютон так хитро сформулировал свое утверждение, что приходится уточнять. Причем доказательство начал с трехмерной фигуры, а продолжил двумерной. Честно говоря, его доказательство, лично у меня, вызвало сомнения. Возможно перевод не совсем корректный. Поэтому и был вопрос про оригинал.

Someone в сообщении #684235 писал(а):

2) Учтите, что сила имеет не только величину, но и направление. Направление силы в формуле учитывать необходимо

Уважаемый Someone, в этом я с вами полностью согласен! Это можно учесть следующим образом, например. Посчитать интеграл от $-\pi/2$ до $\pi/2$ и посчитать такой же интеграл от $\pi/2$ до $3\pi/2$. Если выполняется теорема Ньютона, то они должны быть равны. Но они не равны!
Другой вариант: можно сосчитать проекции ускорений на ось ОХ. Я и так считал. Все равно интеграл не равняется нулю.

[Munin]

Побережный Александр в сообщении #684540 писал(а):

А если взять цилиндр, грубо говоря, трубу? Здесь будет работать теорема Ньютона?

Нет, не будет. Это то же самое, что двумерная задача. И опять же, будет работать с заменой закона притяжения.

Побережный Александр в сообщении #684540 писал(а):

Ньютон так хитро сформулировал свое утверждение, что приходится уточнять.

Ну вот, вам уже и прозрачная латынь негожа! Чего там хитрого?

Побережный Александр в сообщении #684540 писал(а):

Причем доказательство начал с трехмерной фигуры, а продолжил двумерной.

Не путайте. Ничего двумерного у Ньютона не было. Было только у вас. Не валите с вашей головы на ньютоновскую!

Побережный Александр в сообщении #684540 писал(а):

Честно говоря, его доказательство, лично у меня, вызвало сомнения. Возможно перевод не совсем корректный. Поэтому и был вопрос про оригинал.

Ну уговорили, оригинальный текст доказательства, что мне, трудно, что ли? Рисунок у Крылова смотрите.

Цитата:

Sit HIKL superficies illa sphærica, & P corpusculum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineæ duæ HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; &, ob triangula HPI, LPK (per corol. 3 lem. VII) similia, arcus illi erunt distantiis HP, LP proportionales ; & superficiei sphæricæ particulæ quævis ad HI & KL, rectis per punctum P transeuntibus undique terminatæ, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus P exercitæ sunt inter se æquales. Sunt enim ut particulæ directe, & quadrata distantiarum inverse. Et hæ duæ rationes componunt rationem æqualitatis. Attractiones igitur, in contrarias partes æqualiter factæ, se mutuo destruunt. Et simili argumento, attractiones omnes per totam sphæricam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impellitur. Q. E. D.

[Побережный Александр]

Munin в сообщении #684551 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #684540 писал(а):
А если взять цилиндр, грубо говоря, трубу? Здесь будет работать теорема Ньютона?

Нет, не будет. Это то же самое, что двумерная задача. И опять же, будет работать с заменой закона притяжения.

Уважаемый Munin, я ничего против Ньютона не имею.
Я просто выясняю нюансы, которые выглядят противоречиво, по крайней мере для меня. Повторяю еще раз. Модель, которую я рассматриваю трехмерная и в законе притяжения должно присутствовать деление на квадрат расстояния. Я не понимаю, почему модель с обручем вас не устраивает. Насколько я понял, и цилиндр, как модель, тоже не подтверждает теоремы Ньютона(по вашим высказываниям). Даже если рассмотреть массивную сферу, толщина ее бесконечно мала. Лично мне не понятно, почему на внешней стороне сферы ускорение фиксированное число, а с внутренней стороны, в непосредственной близости, нулевое значение. В математике это допускается, так как математика работает с идеальными объектами. Но как в реальности происходит устранение скачка ускорения в сфере?

[nikvic]

Побережный Александр в сообщении #684559 писал(а):

Но как в реальности происходит устранение скачка ускорения в сфере?

"В реальности" сфера имеет толщину, и ускорение растёт от внутренней поверхности к внешней.

[ewert]

Munin в сообщении #684551 писал(а):

Нет, не будет. Это то же самое, что двумерная задача. И опять же, будет работать с заменой закона притяжения.

Будет. Именно потому, что закон притяжения изменится.

[alexo2]

Мне кажется, что здесь проще формализовать задачу (по-крайней мере, я бы делал примерно так, при составлении программы расчета ускорения "внутри звезды") таким образом, что роль "звезды" выполняет некоторая шарообразная условная "галактика" со статическими звездами, расположенными внутри равномерно в точках, соответствующих кристаллической "сотовой" структуре. Тогда можно использовать сложение векторов сил притяжения для условного тела с конечной массой от каждой звезды, как снаружи, так и внутри "галактики" по тому же закону притяжения.
Понятно, что точность расчетов можно задавать "плотностью" звезд внутри "галактики"

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #684540 писал(а):

Уважаемый Someone, в этом я с вами полностью согласен! Это можно учесть следующим образом, например. Посчитать интеграл от $-\pi/2$ до $\pi/2$ и посчитать такой же интеграл от $\pi/2$ до $3\pi/2$. Если выполняется теорема Ньютона, то они должны быть равны. Но они не равны!

Ну, Вам же Munin сказал, что теорема Ньютона в этом случае не работает, если не изменить закон тяготения. Чего Вам ещё не хватает?

А чем Вам мои вычисления не нравятся? Конечно, можно было бы обойтись простым геометрическим рассуждением (как у Ньютона), но Вам ведь требуется формальное вычисление по общим формулам...

[Побережный Александр]

Уважаемый Someone, хотел бы обратить Ваше внимание на правомерность применения в приведенных вычислениях выражения $r^2-2z_0rcos(\theta)+z_0^2$.
По идее, в знаменателе под корнем $r$ должно отсутствовать и должно быть выражение типа $\sqrt{(R^2-z_0^2)+z_0^2cos^2(\theta)}-z_0cos(\theta)$ в качестве расстояния.

[Someone]

Ну что я могу Вам объяснить, если Вы не знаете математического анализа, не понимаете, как делается замена переменных в тройном интеграле и не в состоянии повторить простые вычисления с тригонометрическими функциями? Только посоветовать почитать учебник.

[Побережный Александр]

Побережный Александр в сообщении #684186 писал(а):

Уравнение окружности в полярной системе координат в произвольной точке выглядит так:
$r^2-2rr_0cos(\phi-\theta)+r_0^2=a^2$, в точке $(r_0;\theta)$.
В Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EE%EB% ... 8%ED%E0%F2

Обращаю внимание, $a$ - это просто число, точнее радиус окружности. А величина радиуса окружности не меняется.

[Munin]

Побережный Александр в сообщении #684559 писал(а):

Я просто выясняю нюансы, которые выглядят противоречиво, по крайней мере для меня. Повторяю еще раз. Модель, которую я рассматриваю трехмерная и в законе притяжения должно присутствовать деление на квадрат расстояния. Я не понимаю, почему модель с обручем вас не устраивает.

Разберитесь в доказательстве, и поймёте. Главный момент доказательства, это что две степени взаимно сокращают друг друга: одна duplicata ratio directa за счёт площади superficiei sphæricæ particularum, другая inversa - за счёт virium decrescentium. Если у вас вместо superficiei что-то другое, то и ratio будет другая, и vis должна быть тоже.

ewert в сообщении #684561 писал(а):

Будет. Именно потому, что закон притяжения изменится.

Да, я ошибся. Будет. Приношу извинения. Но не потому, что закон притяжения изменится (можно и так описать, но это слишком сложно для студента уровня Побережный Александр, мне кажется). Закон между точками по-прежнему должен быть $\sim 1/R^2.$