Точный квадрат

[gris]

Ну не на 9, так на 4. Первое число (с любым количеством пятёрок) на 4 не делится. Значит, при делении на 8 должно давать в остатке 1. Но 524 на 8 не делится, значит никакой это не квадрат, даже при любом количестве цифр, большем двух.
Второе число тоже какое-то неквадратное.

+++ Главное — вовремя остановиться Решил один частный случай и харе.

[nnosipov]

gris в сообщении #682571 писал(а):

Второе число тоже какое-то неквадратное.

Точно, но это доказывается немного сложнее: post527937.html#p527937

[Shadow]

Там так много пятерок....модуль 11 напрашивается.

[nnosipov]

Вообще-то, если пятёрок взять ровно минус одну штуку, то получится точный квадрат Поэтому модули здесь не помогут.

[Shadow]

Но число пятерок должно быть четным. (если речь идет о $55\cdots56$) А квадраты не дают остаток 6 по модулю 11.

-- 12.02.2013, 08:57 --

А вот при нечетном модули действительно не помогают.

-- 12.02.2013, 09:03 --

Жаль что в обеих задачах (по ссылке и эта) поставили ограничения. Испортили хорошую задачу.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #682777 писал(а):

Испортили хорошую задачу.

Согласен.

[DjD USB]

Если решать для любого натурального $n$, то остается случай когда

$$5 \cdot \frac{10^{n-1}-1}{9} \cdot 100+25=x^2$$

Т.е. $25(2\cdot10^n-11)=(3x)^2 \Rightarrow 2\cdot10^n-11=k^2$. При $n\ge2$ это не возможно $(\mod 8)$. Подставив $n=1$ получим $x=5$
Надеюсь, что не ошибся.

[Shadow]

Нет, не ошиблись. но для $5\cdots 525$ все это лишнее. gris рассмотрел этот случай. Последние 3 цифры определяют число по модулю 8.

[DjD USB]

Shadow в сообщении #682814 писал(а):

Нет, не ошиблись. но для $5\cdots 525$ все это лишнее. gris рассмотрел этот случай. Последние 3 цифры определяют число по модулю 8.

Да, так действительно легче.

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #682817 писал(а):

Shadow в сообщении #682814 писал(а):

Нет, не ошиблись. но для $5\cdots 525$ все это лишнее. gris рассмотрел этот случай. Последние 3 цифры определяют число по модулю 8.

Да, так действительно легче.

$5\cdots 525=(10t+5)^2=100t^2+100t+25=100t(t+1)+25,$ где $t(t+1)=5\cdots 5$ - четное
А так?

[DjD USB]

TOTAL,
Ваш даже больше понравился.

(Оффтоп)

Кто предложит лучше 1.... кто предложит лучше 2...