Олимпиадная задачка по термодинамике

[larkova_alina]

Рабочим телом теплового двигателя является $\nu = 1 \text{моль}$ гелия.
Цикл работы тепловой машины состоит из линейного в pV-координатах (V-x, p-y) участка 1–2 и изотермы 2–1. Максимальный объем $V_2$ гелия в цикле в 7 раз больше минимального $V_1$. ($V_2=7V_1$) Минимальная температура гелия в цикле составляет $T_0 = 280 К$. Какое количество теплоты было получено гелием в данном цикле от нагревателя?

Рисунок рисовать не буду, он и так понятен. Мои соображения таковы.
Минимальная температура в цикле - это температура изотермы, так как точки прямой лежат выше изотермы, то есть они принадлежат другим изотермам с более высокой температурой.
Направление хода цикла таково: по прямой спускаемся, по изотерме поднимаемся.
Для начала посмотрим на изотерму. На ней внутренняя энергия газа постоянна. Поэтому $Q=A'<0$. То есть газ на изотерме только отдает тепловую энергию холодильнику.
Теперь с прямой. А вот тут уже мне не понятно. На прямой находится точка $V_3$ с максимальной температурой. ($V_1<V_3<V_2=7V_1$) Для прямой между точками $V_1$ и $V_3$ с учетом направления хода процесса получаем значение для малого приращения Q: $\Delta Q = \Delta U + \Delta A'>0$.То есть на отрезке прямой 1-3 газ получал тепловую энергию от нагревателя.
Вопросы: 1) Как найти точку максимальной температуры?
2) Будет ли существовать точка в которой $\Delta Q$ меняет знак, и если да, то как ее найти?
3) Может ли рабочее тело одновременно отдавать тепло холодильнику и получать его от нагревателя или в любой момент времени возможно только одно из двух?

Задача со школьной олимпиады, поэтому решать ее нужно без интегралов и производных.

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682497 писал(а):

1) Как найти точку максимальной температуры?
2) Будет ли существовать точка в которой $\Delta Q$ меняет знак, и если да, то как ее найти?

Точку максимальной температуры найти просто - это середина отрезка (точка касания с изотермой).
Но эта точка Вам не нужна, а нужна, действительно, точка, где $\Delta Q$ меняет знак - это точка касания с адиабатой. Не произнося страшного слова "производная", можно записать $\Delta Q=P\Delta V+C_V\Delta T$, приравнять к нулю, выразить $\Delta T$ через $\Delta P$ и $\Delta V$ и получить уравнение касательной $\Delta P/\Delta V$. Затем сравнить с уравнением отрезка.

[nikvic]

larkova_alina в сообщении #682497 писал(а):

Задача со школьной олимпиады, поэтому решать ее нужно без интегралов и производных.

А что за олимпиада, какой школы?
Будет там корень из семёрки для температуры и работа как площадь трапеции..

[larkova_alina]

nikvic в сообщении #682535 писал(а):

А что за олимпиада, какой школы?

Московская олимпиада школьников по физике 2012 г. 11 класс, 1-й тур.

[DimaM]

nikvic в сообщении #682535 писал(а):

Будет там корень из семёрки для температуры

У меня $\frac{15}{7}$ получилось. А максимальная $\frac{16}{7}$, что меньше корня из семерки.

[nikvic]

Может, 16, а не 15?
Там, конечно, всего лишь максимальное произведение при заданной сумме.

[DimaM]

nikvic в сообщении #682544 писал(а):

Может, 16, а не 15?

Ну да, максимальная 16/7, я выше написал.

Цитата:

Там, конечно, всего лишь максимальное произведение при заданной сумме.

А точка максимума температуры там вообще не нужна (это я тоже выше написал).

[larkova_alina]

Критерии оценки задачи:
Найдены максимальное давление и максимальный объем газа в цикле –0,5 балла
Записана зависимость p(V) для линейного участка цикла – 0,5 балла
Сформулирована идея о том, что необходимо искать на линейном участке точку, в которой
тепловой эффект (т.е.приращение количества теплоты ΔQ) меняет знак –0,5 балла
Правильно записано выражение для малого приращения внутренней энергии ΔU (выражен-ное через Δp и ΔV) –0,5 балла.
Получена формула для малого приращения ΔQ – 1 балл
Найдены значения объема $V_3$ и давления $p_3$(и, соответственно, точка 3 на линейном участке), при которых ΔQ меняет знак –1 балл
Получена формула для изменения внутренней энергии гелия на участке 1–3 –0,5 балла
Получена формула для работы, совершаемойгелиемна участке 1–3 –0,5 балла
Получена формула для количества теплоты $Q_{13} = Q+$ –0,5 балла
Получен правильный численный ответ –0,5 балла

Итак, как найти максимальные давление и объем газа в цикле? Мне кажется, что их вообще нельзя найти.

[nikvic]

DimaM в сообщении #682545 писал(а):

А точка максимума температуры там вообще не нужна (это я тоже выше написал).

Не вижу, но соглашусь.
В задаче требуется полученная теплота, а точка смены знака дальше середины...

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682554 писал(а):

Итак, как найти максимальные давление и объем газа в цикле? Мне кажется, что их вообще нельзя найти.

Максимальное давление в левой верхней точке, максимальный объем в правой нижней. Но они Вам опять-таки не нужны.
Что нужно, я уже писал.

-- 11.02.2013, 22:57 --

nikvic в сообщении #682557 писал(а):

Не вижу

Ну вот же...

[larkova_alina]

DimaM в сообщении #682560 писал(а):

Максимальное давление в левой верхней точке, максимальный объем в правой нижней. Но они Вам опять-таки не нужны.
Что нужно, я уже писал.

Наверное под "Найдены максимальное давление и максимальный объем газа в цикле" имеются ввиду формулы по которым мы можем вычислить максимальные давление и объем. Мне их тоже нужно найти. Хочу "высосать" из задачки все! Зачем оставлять?
Так вот. Можно нарисовать бесконечно много отрезков прямых, концы которых лежать на нашей изотерме, а $V_2=7V_1.$
То есть в принципе нельзя определить максимальные давление и объем. Получается, что в критериях оценки ошибка. Я права?

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682568 писал(а):

Можно нарисовать бесконечно много отрезков прямых, концы которых лежать на нашей изотерме, а $V_2=7V_1.$

Это верно, но это не влияет на ответ. Выше я уже писал, что надо сделать.
Обозначьте левую верхнюю точку, например, $(P_0,V_0)$, напишите уравнение отрезка и найдите точку касания с адиабатой. Дальше теплоту найти легко. Она, конечно, выразится через произведение $P_0V_0$, и тут надо будет вспомнить про Клайперона с Менделеевым.

-- 12.02.2013, 10:48 --

larkova_alina в сообщении #682568 писал(а):

Получается, что в критериях оценки ошибка. Я права?

Похоже на то. Однако при проверке за правильное решение дается полный балл, даже если решение выполнено способом, отличным от предложенного составителями (такое вполне случается, на региональном этапе этого года в одной из задач 11 класса было) .

[larkova_alina]

DimaM в сообщении #682744 писал(а):

Обозначьте левую верхнюю точку, например, $(P_0,V_0)$, напишите уравнение отрезка и найдите точку касания с адиабатой.

А с какой конкретно адиабатой? Ведь любая точка этого цикла принадлежит какой-то там адиабате.

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682754 писал(а):

А с какой конкретно адиабатой? Ведь любая точка этого цикла принадлежит какой-то там адиабате.

Касательная к отрезку только одна. Вот с ней и надо.
Вы все-таки уравнение отрезка, проходящего через точки $(P_0,V_0)$ и $(P_0/7,7V_0)$, напишите.

[larkova_alina]

Уравнение отрезка:
$\frac{P-P_0}{\frac{P_0}{7}-P_0}=\frac{V-V_0}{7V_0-V_0} \Leftrightarrow P=\frac{8}{7}P_0-\frac{P_0}{7V_0}V.$

-- 12.02.2013, 10:01 --

DimaM, а можете пояснить почему $\Delta Q$ обязано менять знак в точке касания с адиабатой? Не могу понять этот момент.