Олимпиадная задачка по термодинамике

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682758 писал(а):

Уравнение отрезка:
$\frac{P-P_0}{\frac{P_0}{7}-P_0}=\frac{V-V_0}{7V_0-V_0} \Leftrightarrow P=\frac{8}{7}P_0-\frac{P_0}{7V_0}V.$

Во, отлично! Теперь надо производную, чтоб наклон касательной узнать, и приравнять к наклону касательной к адиабате.

Цитата:

DimaM, а можете пояснить почему $\Delta Q$ обязано менять знак в точке касания с адиабатой? Не могу понять этот момент.

На адиабате $\Delta Q=0$. При движении по отрезку вправо-вниз сначала переходим к более высоким адиабатам - $\Delta Q$ положительно, а после точки касания - к более низким, $\Delta Q$ отрицательно.

[larkova_alina]

$P'_V=-\frac{P_0}{7V_0}.$
А теперь что? А бес производных никак?

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682767 писал(а):

$P'_V=-\frac{P_0}{7V_0}.$
А теперь что?

А теперь надо найти угол наклона касательной к адиабате, в точке $(P,V)$ на отрезке, и найти эту точку.

Цитата:

А бес производных никак?

Ну можно не произносить этого слова, а написать отношение $\Delta P/\Delta V$.

[larkova_alina]

Уравнение адиабаты: $PV^\gamma=\operatorname{const}$.
$P'_V=\frac{\operatorname{const}}{(1-\gamma)V^{\gamma-1}}.$
Приравниваем:
$\frac{\operatorname{const}}{(1-\gamma)V^{\gamma-1}}=-\frac{P_0}{7V_0}$
И отсюда находить $V$? А что делать с $\operatorname{const}$?

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682773 писал(а):

$P'_V=\frac{\operatorname{const}}{(1-\gamma)V^{\gamma-1}}.$

Неправильно производная посчитана (написана формула для интеграла).

Цитата:

А что делать с $\operatorname{const}$?

Подставить вместо нее $PV^{\gamma}$.

[larkova_alina]

Ой!
$P'_V=-\frac{\gamma P}{V}$.
Приравниваем:
$-\frac{\gamma P}{V}=-\frac{P_0}{7V_0}.$
P и V связанны уравнением отрезка. Поэтому
$-\frac{\gamma}{V}(\frac{8}{7}P_0-\frac{P_0}{7V_0}V)=-\frac{P_0}{7V_0}$. Учитывая, что для идеального одноатомного газа $\gamma=\frac{5}{3}$ получим $V_3=V=5V_0.$
$P_3=\frac{3}{7}P_0.$

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682779 писал(а):

получим $V_3=V=5V_0.$

Ага. Теперь можно из уравнения отрезка найти давление, а потом и тепло.

[larkova_alina]

Итак. На отрезке с координатами $V_1$ и $V_3$ газ получает теплоту от нагревателя.
Для этого отрезка запишем: $Q_{13}=\Delta U_{13}+A'_{13}.$
Переобозначим $V_1:=V_0$ и $P_1:=P_0.$
$\Delta U=U_3-U_1=\frac{3}{2}P_3V_3-\frac{3}{2}P_1V_1=\frac{3}{2}\frac{3}{7}P_15V_1-\frac{3}{2}P_1V_1=$
$=(\frac{45}{14}-\frac{21}{14}P_1V_1)=\frac{12}{7}\nu R T_0.$

$A'_{13}=4V_1\frac{P_1+\frac{3}{7}P_1}{2}=\frac{20}{7}V_1P_1=\frac{20}{7}\nu R T_0.$

И, наконец, получаем ответ:
$Q_{13}=\frac{12}{7}\nu R T_0+\frac{20}{7}\nu R T_0=\frac{32}{7}\nu R T_0.$ Правильно?

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682782 писал(а):

Для этого отрезка запишем: $Q_{13}=\Delta U+A'_{13}.$
$\Delta U=U_3-U_1=\frac{3}{2}P_3V_3-\frac{3}{2}P_1V_1$
$P_3=\frac{3}{7}P_0.$

Все здорово, двигайтесь дальше.

(Оффтоп)

Кстати, у Вас на аватарке формула нехорошая, лучше бы писать $E_0=mc^2$.

[larkova_alina]

DimaM, у меня к Вам вопрос.
Газ в данный момент времени может только получать теплоту от нагревателия или только отдавать теплоту холодильнику?
Неужели на отрезке $V_1-V_3$ газе не отдавал теплоту холодильнику?

-- 12.02.2013, 11:23 --

DimaM в сообщении #682785 писал(а):

Кстати, у Вас на аватарке формула нехорошая, лучше бы писать $E_0=mc^2$.

Все руки не доходят статью Окуня Л.Б. в "успехах" прочитать. http://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682786 писал(а):

Газ в данный момент времени может только получать теплоту от нагревателия или только отдавать теплоту холодильнику?
Неужели на отрезке $V_1-V_3$ газе не отдавал теплоту холодильнику?

Ну, наверно, можно так исхитриться, чтобы отдавать тепло холодильнику и одновременно получать столько же плюс еще несколько тепла от нагревателя. Но обычно считается, что это делается последовательно (то есть $\Delta Q$ такое, которое выходит для процесса). Тогда на отрезке 1-3 газ тепло только получает.

-- 12.02.2013, 14:25 --

larkova_alina в сообщении #682786 писал(а):

Все руки не доходят статью Окуня Л.Б. в "успехах" прочитать. http://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Полезная статья, не пожалеете.

[larkova_alina]

DimaM, спасибо, что помогли с задачкой. Теперь все ясно.

[DimaM]

larkova_alina в сообщении #682790 писал(а):

DimaM, спасибо, что помогли с задачкой. Теперь все ясно.

Всегда пожалуйста!

-- 12.02.2013, 14:35 --

larkova_alina в сообщении #682782 писал(а):

И, наконец, получаем ответ:
$Q_{13}=\frac{12}{7}\nu R T_0+\frac{20}{7}\nu R T_0=\frac{32}{7}\nu R T_0.$ Правильно?

У меня столько же получилось. Там еще по условию $\nu=1$ моль.