Дискриминант трёхчлена с простыми коэффициентами, как решать

[Ktina]

Пусть $n$ — целое число, являющееся дискриминантом квадратного трёхчлена, все коэффициенты которого суть простые числа.
Как выглядит множество всех таких $n$?

У меня такое чувство, будто это все целые числа вида $4k+1$ (но пока не доказала), а также очень немногие числа вида $4k$, где $k\le -3$
"Очень немногие" означает, что $\frac{4-n}{4}$ представимо в виде произведения двух (не обязательно различных) простых.

Подскажите, пожалуйста, как это решать (особенно случай с $4k+1$).

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Перенес в Общие вопросы, т.к. задача сложная.
Проще говоря, Вы хотите найти множество значений формы $b^2-4ac$ при простых $a,b,c$

[Ontt]

Ktina в сообщении #681716 писал(а):

У меня такое чувство, будто это все целые числа вида $4k+1$ (но пока не доказала)

Можно попросить Вас привести пример коэффициентов квадратного трёхчлена, являющихся простыми числами, для дискриминанта вида $4k+1$, где $k=-6$?

[Ktina]

Ontt в сообщении #683339 писал(а):

Можно попросить Вас привести пример коэффициентов квадратного трёхчлена, являющихся простыми числами, для дискриминанта вида $4k+1$, где $k=-6$?

Вы правы.
Квадрат нечётного простого числа даёт остаток 1 при делении на 8.
Квадрат простого числа, большего 3, даёт остаток 1 при делении на 3.
Таким образом, если наше простое $p>3$, то $p^2+23=4ac$ делится на 8 и на 3. Значит, одно из чисел $a, c$ должно быть равно 2, а другое 3. Противоречие.

-- 13.02.2013, 13:38 --

А с девяткой не выходит, так как на 16 делится.