Доказал вот. Полезно, например, для доказательства непрерывности производной обратной функции в условиях теоремы об обратной функции. Может быть, кому-нибудь будет интересно, или у кого-нибудь будут замечания.
Утверждение. Пусть

- множество обратимых линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве X, наделенное метрикой

в смысле операторной нормы. Тогда отображение

, ставящее в соответствие оператору

обратный оператор

, непрерывно.
Доказательство. Сперва докажем непрерывность в точке

(

- тождественный оператор), т.е. что

мало при малых

. Воспользуемся тем, что если

, то, с одной стороны,

, а с другой стороны,

. Из последнего равенства получаем

, а из неравенства треугольника

, тогда

. Если рассматривать только такие

, что

, то

. Отсюда

, т.е.

при

.
Теперь докажем непрерывность в произвольной точке

. Имеем

. По доказанному, последняя величина мала при малых

. Но

, т.е. мало при малых

.