Непрерывность обращения линейных операторов

[gruppoid]

Доказал вот. Полезно, например, для доказательства непрерывности производной обратной функции в условиях теоремы об обратной функции. Может быть, кому-нибудь будет интересно, или у кого-нибудь будут замечания.

Утверждение. Пусть $Inv(X)$ - множество обратимых линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве X, наделенное метрикой $\rho(A,B) = \lVert A - B \rVert$ в смысле операторной нормы. Тогда отображение $F: Inv(X) \rightarrow Inv(X)$, ставящее в соответствие оператору $A$ обратный оператор $A^{-1}$, непрерывно.

Доказательство. Сперва докажем непрерывность в точке $I$ ($I$ - тождественный оператор), т.е. что $\lVert A^{-1} - I \rVert$ мало при малых $\lVert A - I \rVert$. Воспользуемся тем, что если $Ax = y$, то, с одной стороны, $\lVert x - y \rVert = \lVert A^{-1}y - y \rVert = \lVert (A^{-1} - I)y \rVert$, а с другой стороны, $\lVert x - y \rVert = \lVert x - Ax \rVert = \lVert (A - I)x \rVert$. Из последнего равенства получаем $\lVert x \rVert - \lVert x - y \rVert = \lVert x \rVert - \lVert (A - I)x \rVert \ge \lVert x \rVert \cdot (1 - \lVert A - I \rVert)$, а из неравенства треугольника $\lVert x \rVert - \lVert x - y \rVert \le \lVert y \rVert $, тогда $\lVert x \rVert \cdot (1 - \lVert A - I \rVert) \le \lVert y \rVert$. Если рассматривать только такие $A$, что $\lVert A - I \rVert < 1$, то $\lVert x \rVert \le \frac 1 {1 - \lVert A - I \rVert} \lVert y \rVert$. Отсюда $\lVert (A^{-1} - I)y \rVert = \lVert x - y \rVert \le \lVert A - I \rVert \cdot \lVert x \rVert \le \frac {\lVert A - I \rVert} {1 - \lVert A - I \rVert} \lVert y \rVert$, т.е. $\lVert A^{-1} - I \rVert \le \frac {\lVert A - I \rVert} {1 - \lVert A - I \rVert} \rightarrow 0$ при $\lVert A - I \rVert \rightarrow 0$.

Теперь докажем непрерывность в произвольной точке $T$. Имеем $\lVert A^{-1} - T^{-1} \rVert = \lVert T^{-1}(TA^{-1} - 1) \rVert \le \lVert T^{-1} \rVert \cdot \lVert TA^{-1} - I \rVert$. По доказанному, последняя величина мала при малых $\lVert AT^{-1} - I \rVert$. Но $\lVert AT^{-1} - I \rVert = \lVert (A - T)T^{-1} \rVert \le \lVert T^{-1} \rVert \cdot \lVert A - T \rVert$, т.е. мало при малых $\lVert A - T \rVert$.

[ewert]

Да, это известный факт (с одной лишь оговоркой: операторы должны быть не просто обратимы, а ограниченно обратимы). Более-менее автоматически получается из двух совершенно стандартных вещей.

1). Формула Гильберта: $B^{-1}-A^{-1}=B^{-1}\cdot(A-B)\cdot A^{-1}$ и, соответственно, $(A+\Delta A)^{-1}-A^{-1}=-(A+\Delta A)^{-1}\cdot\Delta A\cdot A^{-1}$

2). Разложение первого сомножителя в степенной ряд, сходящийся по операторной норме: $(A+\Delta A)^{-1}=A^{-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-\Delta A\cdot A^{-1})^k$. Собственно, само разложение нам не нужно, но из него вытекает равномерная ограниченность нормы этого сомножителя и, как следствие -- стремление к нулю нормы операторной разности разности.

[Oleg Zubelevich]

gruppoid в сообщении #679518 писал(а):

Пусть $Inv(X)$ - множество обратимых линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве X, наделенное метрикой $\rho(A,B) = \lVert A - B \rVert$ в смысле операторной нормы. Тогда отображение $F: Inv(X) \rightarrow Inv(X)$, ставящее в соответствие оператору $A$ обратный оператор $A^{-1}$, непрерывно.

Допустим у нас имеется ограниченный оператор $A:X\to Y\subset X$, $Y$ -- собственное подпространство $X$. И пусть даже $A^{-1}:Y\to X$ ограничен. Всеравно $A^{-1}\notin Inv(X) $

[gruppoid]

Oleg Zubelevich в сообщении #679540 писал(а):

Допустим у нас имеется ограниченный оператор $A:X\to Y\subset X$, $Y$ -- собственное подпространство $X$. И пусть даже $A^{-1}:Y\to X$ ограничен. Всеравно $A^{-1}\notin Inv(X) $

Согласен, следовало определить $Inv(X)$ как множество ограниченных биективных операторов (как уже заметил ewert).