Пространства L^p

[Бабай]

Я не вижу здесь никакой аналогии.
Что Вы понимаете под "зелёным числом", я не знаю.

Для чётных чисел есть определяющее свойство, из-за которого они собственно и называются "чётными". Определение очерчивает границы для какой-то группы объектов. Всегда есть объекты, не обладающие этим свойством; задача определений сужать класс объектов, оставляя что-то за бортом.

Вы взяли число из натурального ряда. Оно оказалось чётным, то есть обладает определяющим свойством чётных чисел (для большинства из нас это означало бы проверку делимости на два).

Абсолютная гарантия у Вас имелась бы тогда, когда Вы знали бы наперёд обо всех объектах, удовлетворяющих определению. Но определения делаются на базе отдельных примеров -- индуктивно -- так что без проверок не обойтись.

Для больших чисел для того Вам и нужны признаки делимости, чтобы делать проверку.

Так же у вас есть определение выпуклости или вогнутости функции через соответствующее неравенство, у которого, кстати, есть недвусмысленное наглядное значение. То, что логарифмическая функция удовлетворяет этому неравенству, Вы не можете знать априори, если Вы конечно не сам Господь Бог.

Если же Вы считаете, что понятие логарифмической функции по объёму совпадает с понятием выпуклости или вогнутости (в зависимости от основания), то Вы очевидно заблуждаетесь (так как объём последнего шире). Но только в этом случае Вы могли бы иметь все гарантии сразу, что она выпукла (вогнута).

В заключение замечу, что проверка и сопоставление границ применимости определений само собой входит в сущность любого доказательства. С проверок определений и начинается любое доказательство.

[TR63]

Бабай, поняла. Ваше неравенство следует из неравенства Йенсена. Для конкретной логарифмической функции-может следовать из неравенства Коши.
(Про аналогию можно забыть).

[Бабай]

Я что-то сразу не сообразил, что Вы действительно по поводу определения высказываетесь, но видимо оно так и есть.

Определение 1:
$f$ выпукла вверх $: \Longleftrightarrow$ выполняется неравенство $f((1-\lambda) x+\lambda y) \ge (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y), \lambda \in [0,1]$

Это определение. Его не надо доказывать!

Предложение:
выполняется неравенство $f((1-\lambda) x+\lambda y) \ge (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y), \lambda \in [0,1] \Longleftrightarrow$ выполняется обобщённое неравенство Йенсена

Это предложение можно или нужно доказать, если оно Вам не представляется абсолютно очевидным.

Значит можно даже дать эквивалентное первому

Определение 2:
$f$ выпукла вверх $: \Longleftrightarrow$ выполняется неравенство Йенсена.

Это тоже определение. Его не нужно доказывать, пока вам не понадобится (более простая) эквивалентная формулировка как в первом определении. Критерий для применения того или другого -- простое удобство в данной ситуации!

Для полноты изложения, покажите пожалуйста, как Вы проверяете логарифмическую функцию на вогнутость с помощью неравенства Коши.

[TR63]

Бабай в сообщении #682208 писал(а):

Для полноты изложения, покажите пожалуйста, как Вы проверяете логарифмическую функцию на вогнутость с помощью неравенства Коши.

В силу монотонности (возрастания) логарифмической функции достаточно доказать, что
$x^my^n\le mx+ny$, $m+n=1$, $m=1-\frac p q$, $ n=\frac p q$.
В книге А.Я. Дороговцев "Ряды" 1978г.(стр.9 упр.8) есть неравенство
$a^{\frac m n}b^{1-\frac m n}\le(\frac m n)a+(1-\frac m n)b$
$n\ge 2$, $1\le m\le n-1$, $a\ge 0$, $b\ge 0$
В неравенстве Коши надо положить
$a_1=...=a_m=a$
$a_{m+1}=...=a_n=b$
$y^{\frac p q}x^{1-\frac p q}\le(\frac p q)y+(1-\frac p q)x$
При таком доказательстве меньше ограничений на параметры. Т.е. увеличивается мощность пространства. (Если нет ошибок).