Делимость

[Ward]

Здравствуйте!

Как доказать, что $C_{2n}^{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$ делится на $n+1$

Помогите пожалуйста

[Whitaker]

Ну вообще-то $\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}$ - числа Каталана и то, что они целые вытекает из следующего:

$$\dfrac{1}{n+1}C_{2n}^{n}=\dfrac{1}{n+1}\left((n+1)C_{2n}^{n}-nC_{2n}^{n}\right)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$$