примеры алгебры Ли

[Dashkov]

$\mathfrak g$- алгебра Ли. Привести пример:
1) $\mathfrak{g} =[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ и $\mathfrak g$- не полупроста
2) $\mathfrak g$ т.ч. $\operatorname{Rad}\mathfrak{g}\not= 0$ и на $\mathfrak g$ задана невырожденная инвариантная симметричная билинейная форма


Задачи из Ж.-П. Серр. По поводу первой задачи, пытался подобрать базис. Он будет состоять как минимум из 4 образующих, но дальше дело не пошло.
Относительно второй задачи, тут кроме следа даже и не знаю что рассмотреть.

Deggial: я поправил формулы, оформляйте их правильно: каждую формулу в одну пару долларов.

[apriv]

Dashkov в сообщении #677235 писал(а):

1) $\mathfrak{g} =[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ и $\mathfrak g$- не полупроста

Думаю, можно взять две алгебры Ли, два их представления, и специальным образом перемножить.

[Dashkov]

А что значит, специально перемножить?
У меня есть предположение, что надо искать в поле некоторой характеристики, но увы не знаю с чего начать.

[apriv]

Пожалуй, достаточно одной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ и ее представления $V$: тогда на $\mathfrak{g}\times V$ можно ввести структуру алгебры Ли посредством скобки $[(X,u),(Y,v)]=[[X,Y],Xv-Yu]$.

[Dashkov]

Спасибо за ответ. Вы могли бы пояснить обозначения. Не могу разобраться откуда появится не нулевой радикал или необходимо сразу взять не полупростую алгебру?

[apriv]

Dashkov в сообщении #678008 писал(а):

Спасибо за ответ. Вы могли бы пояснить обозначения. Не могу разобраться откуда появится не нулевой радикал или необходимо сразу взять не полупростую алгебру?

А что с обозначениями? Ну, там, в формуле, $X,Y\in\mathfrak{g}$ и $u,v\in V$. Радикал полученной алгебры вроде бы равен $V$.

[Dashkov]

Очень благодарен. Все провери, все вроде подходит. Как я понял справа скобки должны быть круглыми?

[apriv]

Да, разумеется, в правой части внешние скобки должны быть круглыми.

[Dashkov]

К сожалению, я при проверке ошибся, тождество Якоби не выполняется. Если взять $(x,\alpha);(y,\beta);(z,\gamma)$. Получим:

$$[(x,\alpha),[(y,\beta),(z,\gamma)]]+[(z,\gamma),[(x,\alpha),(y,\beta)]]+[(y,\beta),[(z,\gamma),(x,\alpha)]]=(0,-xz\beta-yz\alpha-yx\gamma)$$

Где $x,y,z\in\mathfrak g$, a $\alpha,\beta,\gamma\in V$. Да и с радикалом, пересмотрел. Разрешимость следует только из разрешимости алгебры, если я правильно понял, но если алгебра разрешима, то не будет выполнено условие $\mathfrak g=[\mathfrak g, \mathfrak g]$. Могу ошибаться, начал изучать алгебры совсем недавно.

[Dashkov]

Похоже, с радикалом все хорошо, он был бы равен нулю на первом же шаге.

[dmitriy11]

Что такое вещественная алгебра Ли? И почему $\mathbb C$ является вещественной алгеброй Ли?

[apriv]

Dashkov в сообщении #683185 писал(а):

К сожалению, я при проверке ошибся, тождество Якоби не выполняется. Если взять $(x,\alpha);(y,\beta);(z,\gamma)$. Получим:

Если применить определение, должно получиться $(0,0)$.

-- 13.02.2013, 21:01 --

dmitriy11 в сообщении #683286 писал(а):

Что такое вещественная алгебра Ли? И почему $\mathbb C$ является вещественной алгеброй Ли?

Вещественная алгебра Ли — это алгебра Ли над полем вещественных чисел. Множество $\mathbb C$ никакой алгеброй Ли не является, пока не указано, какая на нем рассматривается операция.