Задача n тел и вероятность.

[Yuriy1b1b2b3b5]

Здравствуйте! Интересуюсь статистическим подходом к решению задачи n тел. Имею ввиду вычисление не траекторий каждой точки, а вероятностей нахождения каждой точки в интервале пространства dV за определённый промежуток времени. Конечно, при заданных начальных условиях (начальные импульсы и координаты мат. точек). Может кто подскажет литературу по этой теме. С удовольствием выслушаю мысли по данному вопросу.
Паралельно хотел спросить как с помощью теоремы Пуанкаре о возвращении найти время, за которое система из n тел возвратится в начальное состояние.

[Yuriy1b1b2b3b5]

Уточню про вероятность. Например, если имеется система двух тел (мат. точек), которые движутся во взаимном гравитационном взаимодействии (траектории не замкнутые, тела не разлетаются). Каждое из тел в какой-то области простанства проводит больше времени чем в другом. Можно ли найти распределение вероятности по пространству?

[DimaM]

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #674422 писал(а):

Например, если имеется система двух тел (мат. точек), которые движутся во взаимном гравитационном взаимодействии (траектории не замкнутые, тела не разлетаются).

В классической механике в системе двух тел траектории как раз замкнутые, поэтому вероятность найти тела в другом месте нулевая.

[zask]

Похоже, к такой постановке имеет отношение т.н. хаос. Посмотрите книгу Райхл "Переход к хаосу", 2008. Но не для 2-х тел, конечно. "Система может считаться интегрируемой, если число ее степеней свободы совпадает с количеством сохраняющихся величин".

Насколько я понимаю, имеются области в фазовом пространстве, соответствующие упорядоченному и хаотическому движению. В последнем случае вроде бы можно ввести плотности вероятности.

Хороший пример - движение трех одинаковых тел по восьмерке. При варьировании нач. условий движение либо упорядочено, либо хаотично (частично).

[DimaM]

Подумал тут: если число тел очень велико, можно рассмотреть задачу равновесия газа с заданной температурой в собственном поле тяготения (решается ли она аналитически, другой вопрос).
Плотность вероятности будет пропорциональна плотности газа в данном месте.

[zask]

DimaM в сообщении #674439 писал(а):

можно рассмотреть задачу равновесия газа с заданной температурой в собственном поле тяготения

Где-то встречал эту задачу, нет у Вас ссылки? Правда, насчет температуры не уверен, скорее наоборот. Она смыкается с задачами формирования планет и звезд.

[DimaM]

zask в сообщении #674440 писал(а):

Где-то встречал эту задачу, нет у Вас ссылки? Правда, насчет температуры не уверен, скорее наоборот. Она смыкается с задачами формирования планет и звезд.

При нулевой температуре разобрано в ЛЛ т.5, параграф 109.
С конечной температурой я не встречал.

-- 21.01.2013, 13:32 --

[zask]

DimaM в сообщении #674442 писал(а):

С конечной температурой я не встречал.

Вроде было где-то типа в учебниках для ВУЗов.

-- 21.01.2013, 18:35 --

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #674422 писал(а):

Можно ли найти распределение вероятности по пространству?

Похоже, более правильная постановка при небольших $n$ о плотности вероятности в фазовом пространстве.

[Yuriy1b1b2b3b5]

DimaM в сообщении #674425 писал(а):

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #674422 писал(а):

Например, если имеется система двух тел (мат. точек), которые движутся во взаимном гравитационном взаимодействии (траектории не замкнутые, тела не разлетаются).

В классической механике в системе двух тел траектории как раз замкнутые, поэтому вероятность найти тела в другом месте нулевая.

Спасибо за рассуждения. Что Вы имели ввиду под другим местом? Реч идёт о плотности вероятности в кольце траекторий одного из тел? (угол отклонения не соизмерим с 2 пи)

-- 21.01.2013, 14:45 --

Спасибо за литературу и рассуждения! Что делать с временем возврата системы в начальное положение?

[Munin]

zask в сообщении #674438 писал(а):

Посмотрите книгу Райхл "Переход к хаосу", 2008.

Спасибо за ссылку. Вот только скачать нигде не могу.

-- 21.01.2013 16:54:38 --

DimaM в сообщении #674439 писал(а):

Подумал тут: если число тел очень велико, можно рассмотреть задачу равновесия газа с заданной температурой в собственном поле тяготения (решается ли она аналитически, другой вопрос).

Для газа это стандартная задача астрофизики звёзд. См. "политропная звезда", литература навскидку:
Зельдович, Новиков. Теория тяготения и эволюция звезд. 1971
Зельдович, Блинников, Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд. 1981
Постнов. Лекции по Общей Астрофизике для Физиков. 2001. - http://www.astronet.ru/db/msg/1170612 - i like it
Батурин, Миронова. Звезды: их строение, жизнь и смерть. 2001. - http://www.astronet.ru/db/msg/1170638

Для отдельных гравитирующих частиц - это тоже известная задача астрофизики, но довольно сложная. Есть книга
У. Саслау. Гравитационная физика звёздных и галактических систем, М., 1989.
скачать можно на http://astro-archive.prao.ru/books/books.php

[zask]

Munin в сообщении #674534 писал(а):

Спасибо за ссылку. Вот только скачать нигде не могу

Она у меня в бумажном виде. Но на libgen лежит 2-е английское издание (Reichl, The transition to chaos), с которого и сделан перевод.

[Munin]

О, спасибо!
Правда, второе издание у меня скачалось с ошибкой... зато взял первое...

[zask]

Munin в сообщении #674610 писал(а):

Правда, второе издание у меня скачалось с ошибкой... зато взял первое...

Повторите попытку, я закачал все чисто. http://libgen.org/book/index.php?md5=4D ... 4C7B8E003B верхняя ссылка.

[Munin]

Спасибо! Какой-то глюк был...

[zask]

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #674530 писал(а):

Что делать с временем возврата системы в начальное положение?

Могу только дать ссылку, но подробно я не разбирался: Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, 1965. Он перепевает Смолуховского, 1915 (есть перевод в сборнике, Эйнштейн, Смолуховский, "Брауновское движение, 1936"). Все есть на libgen.org.

Интересные оценки для космических объектов приведены в http://arxiv.org/abs/hep-th/9411193
Например, для черной дыры солнечной массы

$\tau = 10^{10^{10^{77}}}$

Planck times, millenia, or whatever!