Задача n тел и вероятность.

[Yuriy1b1b2b3b5]

Спасибо за ссылки!

[Oleg Zubelevich]

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #674404 писал(а):

Здравствуйте! Интересуюсь статистическим подходом к решению задачи n тел. Имею ввиду вычисление не траекторий каждой точки, а вероятностей нахождения каждой точки в интервале пространства dV за определённый промежуток времени. Конечно, при заданных начальных условиях (начальные импульсы и координаты мат. точек). Может кто подскажет литературу по этой теме. С удовольствием выслушаю мысли по данному вопросу.
Паралельно хотел спросить как с помощью теоремы Пуанкаре о возвращении найти время, за которое система из n тел возвратится в начальное состояние.

В детерминированных системах что бы получить вероятность, надо ее сначала задать. Делается это так. Рассмотрим динамическую систему $\dot x=v(x)$ и введм на фазовом пространстве $M\ni x$ вероятнустную меру. Для определенности скажем с плотностью $\hat \rho (x)$. Эволюция этой меры под действием фазового потока описывается задачей

$$\rho_t(t,x)+\mathrm{div}\, \rho(t,x)v(x)=0,\quad \rho(0,x)=\hat \rho.$$

Если в этом уравнении положить $\rho=\psi\overline\psi$ получим, естественно уравнение типа Шредингера для $\psi$.
Теперь вероятность того, что частица в момент $t$ находится в множестве $V\subseteq M$ равна $\int_V\rho(t,x)dx$

[Yuriy1b1b2b3b5]

Oleg Zubelevich, благодарю за ответ. То что надо! Как раз и хотел выйти на ур-ние типа Шрёдингера.
Вы не подскажите авторов, которые используют операторный метод в классической механике (по аналогии с квантовой)?

[zask]

Oleg Zubelevich в сообщении #675572 писал(а):

В детерминированных системах что бы получить вероятность, надо ее сначала задать. Делается это так. Рассмотрим динамическую систему и введм на фазовом пространстве вероятнустную меру. Для определенности скажем с плотностью .... Эволюция этой меры под действием фазового потока описывается задачей...
Если в этом уравнении положить ... получим, естественно уравнение типа Шредингера для ...
Теперь вероятность того, что частица в момент находится в множестве ... равна ...

Можете эту программу реализовать для задачи 2-х тел? И получить для нее уравнение Шредингера?

[Oleg Zubelevich]

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #675583 писал(а):

Oleg Zubelevich, благодарю за ответ. То что надо! Как раз и хотел выйти на ур-ние типа Шрёдингера.
Вы не подскажите авторов, которые используют операторный метод в классической механике (по аналогии с квантовой)?

Ищите статьи Козлова Трещева они этим одно время очень основательно занимались

-- Ср янв 23, 2013 23:08:02 --

zask в сообщении #675590 писал(а):

Можете эту программу реализовать для задачи 2-х тел?

я программ ни каких не писал, выражайтесь яснее

zask в сообщении #675590 писал(а):

И получить для нее уравнение Шредингера?

не Шредингера, а типа Шредингра, цитировать надо точно. Сперва, попробуйте написать уравнение на $\psi$ самостоятельно:

Oleg Zubelevich в сообщении #675572 писал(а):

$$\rho_t(t,x)+\mathrm{div}\, \rho(t,x)v(x)=0,\quad \rho(0,x)=\hat \rho.$$

Oleg Zubelevich в сообщении #675572 писал(а):

$\rho=\psi\overline\psi$

не спрпавитесь -- скажите, я помогу

[zask]

Oleg Zubelevich в сообщении #675592 писал(а):

Ищите статьи Козлова Трещева они этим одно время очень основательно занимались

Они занимались бильярдами. Чем это лучше 3-хмерной теории хаоса?

-- 24.01.2013, 03:11 --

Oleg Zubelevich в сообщении #675592 писал(а):

zask в сообщении #675590 писал(а):
Можете эту программу реализовать для задачи 2-х тел?
я программ ни каких не писал, выражайтесь яснее

Oleg Zubelevich в своем стиле. Вместо ответа по существу - демагогия.

Oleg Zubelevich в сообщении #675592 писал(а):

Сперва, попробуйте написать уравнение на самостоятельно:

А зачем мне писать это уравнение. Вы же это предложили. Вот я и прошу Вас ввести вероятностную меру для задачи 2-х тел и выписать уравнение типа Шредингера для нее.

Oleg Zubelevich в сообщении #675592 писал(а):

не спрпавитесь -- скажите, я помогу

Да, помогите мне! Только не в демонстрации дешевых "понтов" и обид, а в задаче - до результата.

[Yuriy1b1b2b3b5]

zask, а Вы умеете...

(Оффтоп)

из человека выбить информацию

[zask]

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #675624 писал(а):

zask, а Вы умеете...

Я действительно хочу понять, стоит ли за этими словами

Oleg Zubelevich в сообщении #675572 писал(а):

В детерминированных системах что бы получить вероятность, надо ее сначала задать. Делается это так. Рассмотрим динамическую систему и введм на фазовом пространстве вероятнустную меру... и т. д.

что-то большее чем уже было сказано до этого или нет. Даю человеку шанс побить меня.

(Оффтоп)

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #675624 писал(а):

из человека выбить информацию

"...не пытал несчастных по темницам."

[Oleg Zubelevich]

Предположим, что $\mathrm{div}\,v=0$ В частности, в нашем случае это верно поскольку задача n тел является гамильтоновой системой. Тогда можно взять функцию $\psi$ удовлетворяющей уравнению типа Шредингера (на самом деле это тривиально и неважно, но почему бы не отметить) $i\psi_t=\hat H\psi,\quad \hat H=v^j\hat p_j,\quad \hat p_j=-i\partial/\partial x^j$. При этом система с гамильтонианом $H= v^jp_j$ получается в результате подъема системы $\dot x=v$ в кокасательное расслоение.

Общая философия состоит в том, что мы можем перейти от изучения отдельных траекторий к изучению динамики функции $\rho(t,x)$ т.е. изучать поведение целого множества траекторий в вероятностных терминах. Есть ряд работ где обсуждалось поведение функции $\rho$ при $t\to \infty$ , в частности доказывались теоремы о существовании слабого предела. (Не в задаче n тел, в другой постановке.)Рассматривались ткже периодические решения уравнения переноса

Yuriy1b1b2b3b5 в сообщении #674404 писал(а):

Паралельно хотел спросить как с помощью теоремы Пуанкаре о возвращении найти время, за которое система из n тел возвратится в начальное состояние.

Для теоремы Пуанкаре в гамильтоновой системе нужны компактные множества. А в задаче $n$ тел не все решения бесконечно продолжаемы вправо по t (даже если нет столкновений) некоторые решения улетают разбалтываются до бесконечности за конечное время. Какова мера начальных условий для этих решений -- ни кто не считал, на сколько я знаю. Так, что, тут надо еще понять как правильно задачу ставить. Эти вещи надо иметь в виду и при изучении уравнения переноса, соответствующего задаче n тел

-- Чт янв 24, 2013 14:30:05 --

zask в сообщении #674438 писал(а):

Насколько я понимаю, имеются области в фазовом пространстве, соответствующие упорядоченному и хаотическому движению. В последнем случае вроде бы можно ввести плотности вероятности.

Хороший пример - движение трех одинаковых тел по восьмерке. При варьировании нач. условий движение либо упорядочено, либо хаотично (частично).

Во-первых, введение плотности, вообще говоря, не связано со спецификой поведения решений , если только все они бесконечно продолжаемы, см. выше. Поэтому фраза про "хаос" и "можно ввести" бессмысленна без уточнений. Да и вообще, слова "хаос", "упорядоченное движение" имеют кучу различных смыслов. Употребление этих слов без разъяснения их содержания является спекуляцией.

[zask]

Поскучнела тема - нет ничего свежего... И уравнение типа Шредингера уже не так сверкает...

Oleg Zubelevich в сообщении #675738 писал(а):

Общая философия состоит в том, что мы можем перейти от изучения отдельных траекторий...

Бессмысленно, имея полную динамическую информацию, переходить на статистический уровень описания. С самого начала все было сказано правильно: там где движение хаотично это имеет смысл, а там где нет - не имеет.
-- 26.01.2013, 01:31 --

Oleg Zubelevich в сообщении #675738 писал(а):

Во-первых, введение плотности, вообще говоря, не связано со спецификой поведения решений , если только все они бесконечно...

Ни о чем. Сначала нужен концепт, а потом уже вылизывание деталей. По хаосу - вообще дал конкретную ссылку - куда уж точнее. У Вас техника и формализм доминируют над идеями - вот в чем Ваша проблема.

Точность понятий должна соответствовать стадии рассмотрения. Слишком детальное углубление в аксиоматику, особенно на первых стадиях, чаще всего является превышением точности. Интуиция важнее интегралов. Они потом появятся, когда придет время!

Углубление в определения даже может вредить на определенных стадиях. В ходе решения задачи сущности, которые в ней появляются, должны поначалу "дышать" и только по мере ее развития приобретать все более конкретные черты. Это позволит подобрать язык наиболее соответствующий задаче.

Все это не обязательно, конечно, но, вероятно, - это высший пилотаж!

[Oleg Zubelevich]

zask в сообщении #676266 писал(а):

ессмысленно, имея полную динамическую информацию

что такое "полная динамическая информация"?

-- Пт янв 25, 2013 21:40:31 --

zask в сообщении #676266 писал(а):

У Вас техника и формализм доминируют над идеями - вот в чем Ваша проблема.

а Ваша проблема в том, что Вы не понимаете терминов, которые произносите