Матрицы, перестановочные с данной

[FMS]

Дана матрица

$$A=\left( \begin{array}{rr} 3 & 5\\ 1 & 2 \end{array}\right) $$

Требуется найти все перестановочные с ней.
Верно ли я понимаю, что это решается через систему линейных уравнений?

И еще. Требуется найти все квадратные матрицы второго порядка, равные своим квадратам. Там получается нелинейная система. Нет ли способа легче?

[ewert]

FMS в сообщении #673578 писал(а):

Верно ли я понимаю, что это решается через систему линейных уравнений?

Да, наверное так проще всего.

FMS в сообщении #673578 писал(а):

Там получается нелинейная система. Нет ли способа легче?

Есть -- подумайте, какими могут быть собственные числа такой матрицы. Там совсем немного вариантов.

[FMS]

ewert в сообщении #673582 писал(а):

Да, наверное так проще всего.

Спасибо!

Цитата:

FMS в сообщении #673578 писал(а):

Там получается нелинейная система. Нет ли способа легче?

Есть -- подумайте, какими могут быть собственные числа такой матрицы. Там совсем немного вариантов.

$1$ и $-1$?

[ewert]

FMS в сообщении #673598 писал(а):

$1$ и $-1$?

Нет. Какому уравнению должно отвечать любое собственное число?

[FMS]

ewert в сообщении #673600 писал(а):

FMS в сообщении #673598 писал(а):

$1$ и $-1$?

Нет. Какому уравнению должно отвечать любое собственное число?

$x^2=x$? Тогда 0 и 1

[ewert]

FMS в сообщении #673613 писал(а):

Тогда 0 и 1

Ну да. Теперь можете перебрать возможные жордановы формы, подходящие под эти условия -- их и будет всего-то три штуки.

Хотя с жордановостью и вообще собственными числами я, надо сказать, переборщил (постоянно забываю эту задачу). Поскольку матрица всего лишь второго порядка -- всё гораздо проще. Если матрица невырожденна, то на неё уравнение $A^2=A$ можно сократить. А если вырожденна, то такие матрицы в двумерном случае наперечёт -- их ранг не выше одного, т.е. их строки/столбцы пропорциональны: $A=\vec a\cdot\vec b\,^T$, и остаётся лишь отобрать среди них те, которые удовлетворяют тому уравнению.

[FMS]

Да, действительно, очень просто. Спасибо за предложенный вариант.