2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Матрицы, перестановочные с данной
Сообщение19.01.2013, 12:36 
Дана матрица $$A=\left( \begin{array}{rr}
3 & 5\\
1 & 2 \end{array}\right)
$$Требуется найти все перестановочные с ней.
Верно ли я понимаю, что это решается через систему линейных уравнений?

И еще. Требуется найти все квадратные матрицы второго порядка, равные своим квадратам. Там получается нелинейная система. Нет ли способа легче?

 
 
 
 Re: Матрицы, перестановочные с данной
Сообщение19.01.2013, 12:51 
FMS в сообщении #673578 писал(а):
Верно ли я понимаю, что это решается через систему линейных уравнений?

Да, наверное так проще всего.

FMS в сообщении #673578 писал(а):
Там получается нелинейная система. Нет ли способа легче?

Есть -- подумайте, какими могут быть собственные числа такой матрицы. Там совсем немного вариантов.

 
 
 
 Re: Матрицы, перестановочные с данной
Сообщение19.01.2013, 13:18 
ewert в сообщении #673582 писал(а):
Да, наверное так проще всего.
Спасибо!
Цитата:
FMS в сообщении #673578 писал(а):
Там получается нелинейная система. Нет ли способа легче?

Есть -- подумайте, какими могут быть собственные числа такой матрицы. Там совсем немного вариантов.
$1$ и $-1$?

 
 
 
 Re: Матрицы, перестановочные с данной
Сообщение19.01.2013, 13:21 
FMS в сообщении #673598 писал(а):
$1$ и $-1$?

Нет. Какому уравнению должно отвечать любое собственное число?

 
 
 
 Re: Матрицы, перестановочные с данной
Сообщение19.01.2013, 13:35 
ewert в сообщении #673600 писал(а):
FMS в сообщении #673598 писал(а):
$1$ и $-1$?

Нет. Какому уравнению должно отвечать любое собственное число?

$x^2=x$? Тогда 0 и 1

 
 
 
 Re: Матрицы, перестановочные с данной
Сообщение19.01.2013, 21:17 
FMS в сообщении #673613 писал(а):
Тогда 0 и 1

Ну да. Теперь можете перебрать возможные жордановы формы, подходящие под эти условия -- их и будет всего-то три штуки.

Хотя с жордановостью и вообще собственными числами я, надо сказать, переборщил (постоянно забываю эту задачу). Поскольку матрица всего лишь второго порядка -- всё гораздо проще. Если матрица невырожденна, то на неё уравнение $A^2=A$ можно сократить. А если вырожденна, то такие матрицы в двумерном случае наперечёт -- их ранг не выше одного, т.е. их строки/столбцы пропорциональны: $A=\vec a\cdot\vec b\,^T$, и остаётся лишь отобрать среди них те, которые удовлетворяют тому уравнению.

 
 
 
 Re: Матрицы, перестановочные с данной
Сообщение21.01.2013, 09:29 
Да, действительно, очень просто. Спасибо за предложенный вариант.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group