Класс

состоит из двух моделей:

и

(множество

- натуральные числа). Является ли теория

полной в сигнатуре

, если

- символ двухместного предиката?
Как я понимаю, нужно действовать по определению. Непротиворечивая теория является полной, если все её модели элементарно эквивалентны - это легко доказать. Нужно проверить, что

. Далее по определению: модели

и

элементарно эквивалентны, если любое предложение

истинно в модели

тогда и только тогда, когда оно истинно в модели

. Но здесь возникли трудности. Как можно это проверить? Интуитивно я понимаю, но как грамотно записать доказательство?