Доказать элементарную эквивалентность двух моделей

[Yana Romanova]

Класс $K$ состоит из двух моделей: $A=<P(\omega),\subseteq>$ и $B=<P(\omega),\supseteq>$ (множество $\omega$ - натуральные числа). Является ли теория $Th(K)$ полной в сигнатуре $\sigma=<P>$, если $P$ - символ двухместного предиката?

Как я понимаю, нужно действовать по определению. Непротиворечивая теория является полной, если все её модели элементарно эквивалентны - это легко доказать. Нужно проверить, что $A \equiv B$. Далее по определению: модели $A$ и $B$ элементарно эквивалентны, если любое предложение $\varphi \in Th(K)$ истинно в модели $A$ тогда и только тогда, когда оно истинно в модели $B$. Но здесь возникли трудности. Как можно это проверить? Интуитивно я понимаю, но как грамотно записать доказательство?

[AGu]

Подсказываю: изо...

[Yana Romanova]

AGu в сообщении #673314 писал(а):

Подсказываю: изо...

Спасибо. Как просто оказалось. А теорему Мальцева нужно использовать, чтобы доказать полноту? На семинарах всегда ей пользовались, а сейчас не понадобилась, странно.

[AGu]

Yana Romanova в сообщении #673328 писал(а):

А теорему Мальцева нужно использовать, чтобы доказать полноту?

Не могу придумать, как тут могла бы пригодиться теорема Мальцева. Она же, вроде, про непротиворечивость (или существование модели), а у нас -- полнота. Но даже если эту пушку как-то и можно притянуть, едва ли стоит из нее стрелять по воробьишкам $A$ и $B$, сидящим на трубе. Коль скоро $K=\{A,B\}$ и $A\equiv B$, имеет место равенство ${\rm Th}(K)={\rm Th}(A)$. Правда ведь? Ну а тогда остается заметить, что теория ${\rm Th}(A)$ полна, причем по очень простой причине: для любого предложения $\varphi$ рассматриваемой сигнатуры выполнено либо $A\vDash\varphi$, либо $A\vDash\neg\varphi$, т.е. либо $\varphi\in{\rm Th}(A)$, либо $\neg\varphi\in{\rm Th}(A)$.