Числа Люка (через одно)

[Ktina]

Дана функция

$$ f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} $$

Решить систему

$$\begin{cases} f(0)\ne 0 \\ f(1)=3 \\ f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)\\ \end{cases}$$

У меня получислось так:

$$f(0)f(0)=f(0+0)+f(0-0)\to f(0)=2$$

$$f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)\to 3f(x)=f(x+1)+f(x-1)$$

Таким образом, значения функции при целых неотрицательных аргументах (0, 1, 2, ...) имеют вид 2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, 843, ...
Иными словами, числа Люка (через одно).

Как это доказать?

[Cash]

$f(0)=2$, $f(1)=3$,
$f(n+2) = 3f(n+1)-f(n)$
Откуда
$f(n) = a_1(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n +a_2(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n$
Из начальных условий $a_1=a_2=1$

Формула $n-$-го члена для чисел Люка
$L_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n +(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
Положим $n=2k$ и получим...

-- Чт янв 17, 2013 16:04:59 --

Можно и сразу показать, подметив, что для чисел Люка
$L_{2n+2}=3L_{2n}-L_{2n-2}$

[Ktina]

Cash,
спасибо!