2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Числа Люка (через одно)
Сообщение17.01.2013, 13:53 
Аватара пользователя
Дана функция $$ f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} $$
Решить систему $$\begin{cases}
    f(0)\ne 0 \\
    f(1)=3 \\
    f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)\\
    
\end{cases}$$

У меня получислось так:
$$f(0)f(0)=f(0+0)+f(0-0)\to f(0)=2$$
$$f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)\to 3f(x)=f(x+1)+f(x-1)$$
Таким образом, значения функции при целых неотрицательных аргументах (0, 1, 2, ...) имеют вид 2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, 843, ...
Иными словами, числа Люка (через одно).

Как это доказать?

 
 
 
 Re: Числа Люка (через одно)
Сообщение17.01.2013, 15:01 
$f(0)=2$, $f(1)=3$,
$f(n+2) = 3f(n+1)-f(n)$
Откуда
$f(n) = a_1(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n +a_2(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n$
Из начальных условий $a_1=a_2=1$

Формула $n-$-го члена для чисел Люка
$L_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n +(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
Положим $n=2k$ и получим...

-- Чт янв 17, 2013 16:04:59 --

Можно и сразу показать, подметив, что для чисел Люка
$L_{2n+2}=3L_{2n}-L_{2n-2}$

 
 
 
 Re: Числа Люка (через одно)
Сообщение17.01.2013, 17:37 
Аватара пользователя
Cash,
спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group