Помогите решить в целых числах

[Sonic86]

b322730 в сообщении #673341 писал(а):

А дальше что?

Как решать уравнение, если $a=4$?
Как решить уравнение $xy=A$ при заданном $A$ в неизвестных натуральных числах $x,y$?

[Shadow]

Хороший пъть прошли, чтобы понять что $a+x$ является делителем $a^2$, вместо того чтобы просто поделить столбиком $ax \text { на } x+a$
Но я тоже хорош с своей параметризацией, так что мне лучше помалкивать.
В свое оправдание скажу, что не сразу понял что а - параметр.

[Cash]

Там того пути всего-то 2 шага. Но с делением, конечно, без всяких фокусов получается. К тому же годится и на случай $y=\frac {P(x)}{x+a}$ для произвольного многочлена $P(x)$. Моментально дается ответ: $x+a$ - делитель $P(-a)$
В свое оправдание скажу, что у меня перед глазами сразу встало $\frac 1x +\frac 1y = \frac 1n$, и отсюда уже и способ

[b322730]

Цитата:

$x+a$ - делитель $P(-a)$

Прокомментируйте, пожалуйста.

[Cash]

Теорема Безу:
остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x-a$ равен $P(a)$

[VAL]

b322730 в сообщении #673883 писал(а):

Прокомментируйте, пожалуйста.

Давайте, я попробую:
$y=\frac{a\cdot x}{a+x}=\frac{(ax+a^2)-a^2}{x+a}=a-\frac{a^2}{x+a}$.
Надеюсь, дальнейшее просто.

[b322730]

Понимаете, дальше $t=\frac{a^2}{x+a}$ не продвигаюсь.

[VAL]

b322730 в сообщении #674243 писал(а):

Понимаете, дальше $t=\frac{a^2}{x+a}$ не продвигаюсь.

А если взять вместо $a$ конкретное целое число?
Например, можете ли Вы найти все такие пары целых $(x,y)$, что $y=10-\frac{100}{x+10}$?

[b322730]

Единственное, что мне приходит в голову, так это написать программу на Паскале, которая пробегает иксом от 0 до очень_большое_число, но ведь это неправильный подход.

[Cash]

Sonic86 в сообщении #673360 писал(а):

Как решить уравнение $xy=A$ при заданном $A$ в неизвестных натуральных числах $x,y$?

Может записанном в таком виде проще будет? Уравнение $XY=100$

[b322730]

Я понимаю, что $x + 10$ должно являться делителем $100$, но как это записать математически, и как впоследствии работать, я не знаю.

[Cash]

Так и пишите:
$x=d-10$ , где $d|100$

[b322730]

Это, конечно, хорошо, что можно так записать. Но породить решения как? Кроме полного перебора?

[ИСН]

От полного перебора по всем (*) делителям $a^2$ никак не уйти. Ведь они нам все нужны. Это всё равно что спрашивать, как породить числа от $1$ до $n$, кроме полного перебора. Никак. Вот так. Эта запись их и порождает.

[b322730]

Границы для перебора каковы? Как доказать, что вне этих границ решений нет?