Непрерывность функции в точке.

[main.c]

Будет ли функция $\sqrt{x^2 - 4}$ непрерывна в точке $x = -2$. На интуитивном уровне эта точка является точкой разрыва, но если взглянуть на понятие непрерывности функции в точке, получается, что в ней она непрерывна, так как для любой $\delta$-окрестности точки $f(-2)$ найдётся такая $\varepsilon$-окрестность точки $x = -2$, что её образ будет лежать в $\delta$-окрестности точки $f(-2)$. Будет ли это точкой разрыва или нет?

[gris]

Функция непрерывна слева, но справа от точки она вообще не определена в действительном смысле. Поэтому образа двусторонней окрестности просто не существует.

[main.c]

gris в сообщении #672286 писал(а):

Функция непрерывна слева, но справа от точки она вообще не определена в действительном смысле. Поэтому образа двусторонней окрестности просто не существует.

Немножко некорректо записал определение, конечно же не образ окрестности, а образ окрестности, пересечённой с областью определения.

[gris]

А это будет уже не непрерывность в общем смысле, а непрерывность по множеству, в частности, по области определения, то есть левосторонняя непрерывность, как и было сказано.

[main.c]

gris в сообщении #672291 писал(а):

А это будет уже не непрерывность в общем смысле, а непрерывность по множеству, в частности, по области определения, то есть левосторонняя непрерывность, как и было сказано.

А разве функция это не отображение множества в другое множество, не вижу разницы. Да и здесь, http://cs6296.userapi.com/u102060840/docs/be09409b7a95/Lektsii_po_matan_IU9_1sem.pdf, страница 43, ни о какой левосторонней непрерывности не говорится, там сказано, что функция непрерывна тогда и только тогда когда $(4)$.

[gris]

Тогда и функция, определённая, например, только на натуральных числах, непрерывна в каждой точке. Ну есть и такой подход.

[main.c]

gris в сообщении #672299 писал(а):

Тогда и функция, определённая, например, только на натуральных числах, непрерывна в каждой точке. Ну есть и такой подход.

Так получается, что она непрерывна в этой точке?

[gris]

В концепции того курса, в котором предполагается непрерывность по множесту определения, она будет непрерывна, но обычно такие функции не считаются непрерывными.

[main.c]

Тогда если функция в этой точке непрерывна, сразу же второй вопрос, эта точка предельная, значит условия непрерывности $(1) - (4)$, эквивалентны, это всё написано на той же странице, значит условие $(2)$ тоже должно выполняться, но оно не выполняется, так как двустороннего предела в этой точке нет, у меня от таких определений начинает развиваться когнитивный диссонанс. Не могли бы вы разъяснить мне что к чему?

[gris]

Во многих курсах, в частности у Зорича, вначале говорится, что для непрерывности в точки функция должна быть определена в окрестности этой точки. Затем переходится к более общему определению непрерывности по области определения, затем по множеству. Потом идёт непрерывность по базе и т.д. Увлёкся В общем-то, это терминологические трудности.
Например, некоторые теоремы справедливы для функций, непрерывных на отрезке. При этом, если вводится понятие "непрерывности вообще", то приходится проговаривать лишние слова, что под непрерывностью на концах понимается односторонняя непрерывность. А при определении непрерывности по множеству этих слов можно не говорить.
Вырожденные случаи, вроде непрерывности в изолированных точках, особого интереса не представляют. А с Вашим когнитивным диссонансом тоже несложно разобраться.

[main.c]

gris в сообщении #672312 писал(а):

Во многих курсах, в частности у Зорича, вначале говорится, что для непрерывности в точки функция должна быть определена в окрестности этой точки. Затем переходится к более общему определению непрерывности по области определения, затем по множеству. Потом идёт непрерывность по базе и т.д. В общем-то, это терминологические трудности.

Так даже если следовать терминологии данной в моём курсе, в ней есть противоречие, описанное мною выше, в этой точке ведь нет предела, а значит это точка разрыва, но следуя той же терминологии она непрерывна, так как выполняется условие (4), получается, что условие 2 и 4 не эквиваленты, а говорится, что эквивалентны, какая-то ерунда получается.

[Aritaborian]

Считается, например, что все элементарные функции непрерывны. Но именно на своей области определения. Если же рассматривать всё $\mathbb{R}$, то выходит, что, к примеру, тангенс и обратная пропорциональность разрывны. Нужно каждый раз уточнять, что имеется в виду.

[gris]

Пардон, я только что посмотрел Ваш курс. Так это практически Зорич и есть. А он противник излишнего формализма и дотошности. Иногда совершенно понятно, о чём идёт речь. Действительно, мы имеем определения, что функция непрерывна в точке, если её значение в точке совпадает с пределом "вообще", а он существует, если и только если существуют и равны два односторонних предела. Пределы же тоже должны рассматриваться по области определения, а в ашем случае правостороннего не существует, но это как бы допустимое несуществование. То есть функция справа не определена, мы просто не рассматриваем правый предел.

[ewert]

main.c в сообщении #672316 писал(а):

получается, что условие 2 и 4 не эквиваленты, а говорится, что эквивалентны,

Почитайте с.27 и начало с.28. По совокупности получается, что в определении (3) вовсе не подразумевается определённость функции во всей выколотой окрестности (формально импликация корректна в любом случае). Конечно, лучше было бы с самого начала оговорить это прямым текстом; но там текст вообще достаточно неряшлив.

[Padawan]

gris в сообщении #672312 писал(а):

Потом идёт непрерывность по базе и т.д.

А это что такое? Предел по базе знаю, а непрерывность по базе - нет. Для непрерывности, все-таки, нужна топология.