Непрерывность функции в точке.

[main.c]

ewert в сообщении #672326 писал(а):

main.c в сообщении #672316 писал(а):

получается, что условие 2 и 4 не эквиваленты, а говорится, что эквивалентны,

Почитайте с.27 и начало с.28. По совокупности получается, что в определении (3) вовсе не подразумевается определённость функции во всей выколотой окрестности (формально импликация корректна в любом случае). Конечно, лучше было бы с самого начала оговорить это прямым текстом; но там текст вообще достаточно неряшлив.

Если я Вас правильно понял, Вы хотите сказать, что во всех 4 определениях неявно подразумевается, что функция определена в какой-то окрестности точки $a$, тогда определения с 1 по 4 эквивалентны для предельной точки, но определение 4 не верно для изолированной точки, хотя по теореме, которая там приведена оно верно. Снова противоречие.

[ewert]

main.c в сообщении #672336 писал(а):

но определение 4 не верно для изолированной точки,

Почему? Оно не только верно -- оно тривиально.

[main.c]

ewert в сообщении #672345 писал(а):

main.c в сообщении #672336 писал(а):

но определение 4 не верно для изолированной точки,

Почему? Оно не только верно -- оно тривиально.

Потому что по определению изолированной называют такую точку, у которой есть окрестность содержащая только саму эту точку, следовательно функция не определена в этой окрестности, а у нас подразумевается, что она определена, вот поэтому.

[ewert]

main.c в сообщении #672347 писал(а):

функция не определена в этой окрестности, а у нас подразумевается, что она определена

Вовсе нет. В 4-м определении речь не о выколотых окрестностях, а просто об окрестностях. Вот в центре этих окрестностей функция и определена, и этого достаточно.

[main.c]

ewert в сообщении #672350 писал(а):

main.c в сообщении #672347 писал(а):

функция не определена в этой окрестности, а у нас подразумевается, что она определена

Вовсе нет. В 4-м определении речь не о выколотых окрестностях, а просто об окрестностях. Вот в центре этих окрестностей функция и определена, и этого достаточно.

Возьмём окрестность точки $x = -2$, в центре этой окрестности
функция $\sqrt{x^2 - 4}$ определена, следуя Вашей логике функция непрерывна в этой точке, но функция в этой точке разрывна.

[ewert]

main.c в сообщении #672372 писал(а):

следуя Вашей логике функция непрерывна в этой точке, но функция в этой точке разрывна.

Конечно, непрерывна.

[main.c]

ewert в сообщении #672375 писал(а):

main.c в сообщении #672372 писал(а):

следуя Вашей логике функция непрерывна в этой точке, но функция в этой точке разрывна.

Конечно, непрерывна.

Отлично, для предельной точки определения 2 и 4 эквивалентны, следовательно если функция в этой точке непрерывна, то должен существовать двусторонний предел в этой точке, но его нет. И как это понимать? Именном в этом заключается главный вопрос поста!

[ewert]

main.c в сообщении #672379 писал(а):

для предельной точки определения 2 и 4 эквивалентны, следовательно если функция в этой точке непрерывна, то должен существовать двусторонний предел в этой точке

Вы невнимательно читаете. В самом начале той странички чётко сказано, что $f:\;E\to\mathbb R$. И хотя должно было стоять, конечно, $f:\;E\mapsto\mathbb R$, но в любом случае это совершенно недвусмысленно означает, что речь идёт о пределе и непрерывности функции лишь по множеству $E$. Вне этого множества функция попросту не определена. И это относится в равной мере ко всем четырём формулировкам.

В принципе, Вас можно понять: авторы неявно пользуются пределом по множеству, так толком его и не определив. Или определение закопано столь глубоко, что за всей этой тягомотиной про предел по базе его и не разглядишь. Но я уже говорил, что текст вообще неряшлив. Одно чудовищное доказательство первого замечательного предела чего стоит. Что ж поделать, приходится с этим считаться.

[main.c]

ewert в сообщении #672390 писал(а):

main.c в сообщении #672379 писал(а):

для предельной точки определения 2 и 4 эквивалентны, следовательно если функция в этой точке непрерывна, то должен существовать двусторонний предел в этой точке

Вы невнимательно читаете. В самом начале той странички чётко сказано, что $f:\;E\to\mathbb R$. И хотя должно было стоять, конечно, $f:\;E\mapsto\mathbb R$, но в любом случае это совершенно недвусмысленно означает, что речь идёт о пределе и непрерывности функции лишь по множеству $E$. Вне этого множества функция попросту не определена. И это относится в равной мере ко всем четырём формулировкам.

В принципе, Вас можно понять: авторы неявно пользуются пределом по множеству, так толком его и не определив. Или определение закопано столь глубоко, что за всей этой тягомотиной про предел по базе его и не разглядишь. Но я уже говорил, что текст вообще неряшлив. Одно чудовищное доказательство первого замечательного предела чего стоит. Что ж поделать, приходится с этим считаться.

Значит правосторонний предел в этой точке всё-таки есть, я правильно вас понял?

[ewert]

main.c в сообщении #672399 писал(а):

Значит правосторонний предел в этой точке всё-таки есть,

Не правосторонний, а просто предел. Говорить об именно правостороннем имело бы смысл, если бы наряду с ним существовал или не существовал левосторонний предел. Но последний просто не имеет смысла -- функция там не определена.

[main.c]

ewert в сообщении #672415 писал(а):

main.c в сообщении #672399 писал(а):

Значит правосторонний предел в этой точке всё-таки есть,

Не правосторонний, а просто предел. Говорить об именно правостороннем имело бы смысл, если бы наряду с ним существовал или не существовал левосторонний предел. Но последний просто не имеет смысла -- функция там не определена.

Предел в точке $a$, существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют два односторонних предела и они равны. Так как левосторонний предел в этой точке существует и равен 0, я спросил у Вас про правосторонний, тем самым подразумевая весь предел, но Вы только что мне сказали, что последний не имеет смысла, так как функция там не определена, значит и двустороннего тоже нет, разве не так???

[ewert]

main.c в сообщении #672421 писал(а):

Предел в точке $a$, существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют два односторонних предела и они равны.

Вы на что конкретно сейчас сослались?... Найдите соответствующее утверждение в том конспекте и дайте ссылку. Хотя если внимательно прочитаете, что там написано,то это не понадобится.

[main.c]

ewert в сообщении #672426 писал(а):

main.c в сообщении #672421 писал(а):

Предел в точке $a$, существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют два односторонних предела и они равны.

Вы на что конкретно сейчас сослались?... Найдите соответствующее утверждение в том конспекте и дайте ссылку. Хотя если внимательно прочитаете, что там написано,то это не понадобится.

http://cs6296.userapi.com/u102060840/docs/be09409b7a95/Lektsii_po_matan_IU9_1sem.pdf, стр. 32, теорема о связи односторонних и двустороннего предела.

[AGu]

Все эти критерии о лево/право/двух-сторонних пределах применимы лишь в том случае, когда область определения функции включает некоторый интервал с центром в рассматриваемой точке. В общем же случае надо бы использовать не критерии, а само определение непрерывности -- в терминах эпсилон-дельта или в терминах пределов последовательностей, либо -- что педагогичнее -- в терминах окрестностей (или открытых множеств) и их прообразов.

[ewert]

main.c в сообщении #672429 писал(а):

стр. 32, теорема о связи односторонних и двустороннего предела.

Правильно. А теперь прочитайте формулировку, только внимательно. Что там сказано про область определения функции?...