Аппроксимация

[Andrey A]

Добрый вечер!
Дано разложение в непрерывную дробь $\sqrt[k]{m}=[a_1,a_2,...]$ (1),
$\frac{p_1}{q_1};\frac{p_2}{q_2};...$ - соответствующие подходящие дроби. Верно ли, что, начиная с некоторого $n$, выражение
$R_n = \frac{mq_n^{k-1}+(k-1)\sqrt{mp_n^kq_n^{k-2}}}{p_n^{k-1}+(k-1)\sqrt{mp_n^{k-2}q_n^k}}$ (2)
является лучшим приближением $\sqrt[k]{m}$ в сравнении с $\frac{p_n}{q_n}$, и разложение (2) совпадает с (1) вплоть до некоторого номера, превышающего $n$, т.е. $R_n=[a_1,a_2,...,a_n,...,a_{n+x}....]$ ?
Если верно, то как найти $x$, не прибегая к пошаговым сравнениям?