вращающийся стержень

[kis]

Стержень длиной l движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны $v_1$ и $v_2$, причем скорость первого из них направлена под углом $\alpha = \pi / 6$. Какова в этот момент времени угловая скорость $\omega$ вращения стержня вокруг его центра?

я рассуждал так(как оказалось, неверно):
нарисовав окружность, диаметр которой является стержень, спроецировал векторы $v_1$ и $v_2$ на касательные соответствующих точек и на перпендекуляры к этим касательным. так, что проекции обоих векторов на соответствующие касательные - это линейная скорость $v_0$ при движение по окружности($v_o = \omega R$), а перпендекуляры к касательным - поступательная скорость. отсюда, мне стало ясно, что мое решение неверно, поскольку, чтобы найти $v_0$ скорость $v_2$ не нужна.

на скринах решение из задачника. я не понимаю, зачем вводят три новые системы отсчета. $r_c,r_1,r_2$. не понимаю решение этой задачи. объясните пожалуйста подробнее

условие и первая часть решения

вторая часть решения
извиняюсь, что не обрезал изображение, нету возможности.

p.s. сразу извиняюсь за скрины - там и картинки, и решение.

[kis]

конкретный вопрос:
как выведена формула $r_c = (r_1 + r_2)/2$?
$r_c$ - это я так понял радиус вектор, начало которого в центре стержня
$r_1,r_2$ - откуда направлены радиус векторы? из концов стержня? тогда куда направлены эти векторы? и почему именно туда?

[DimaM]

Подсказка: скорости концов стержня в направлении вдоль него должны быть одинаковыми (поскольку длина стержня не изменяется).

[kis]

к сожалению, я еще не дошел до этого момента, потому что не понял предыдущих этапов решения.
рассматриваю концы стержня как материальные точки. у каждого конца есть вектор скорости. каждый конец - система отсчета. радиус вектор каждого конца я сонаправил с вектором скорости данного конца. так, для первого конца стержня радиус вектор $r_2$ сонаправлен с вектором $v_2$, а для второго, соответственно, $r_1$ сонаправлен с $v_1$.
теперь я эти два радиус вектора из концов отрезка перемещаю параллельно себе в середину отрезка и строю параллелограмм.
мне неочевидно, почему векторная сумма радиус векторов концов отрезка есть радиус вектор середины отрезка?
и как получить из параллелограмми вектор $r_c$, углов-то нету.

[nikvic]

kis в сообщении #672200 писал(а):

у каждого конца есть вектор скорости. каждый конец - система отсчета.

Точка не может быть системой отсчёта. СО -всегда тело, мысленное или реальное (плюс "часы").
Система отсчёта в задаче - тот паровоз, который "везёт" стержень.
В приведённом решении середина стержня неподвижна относительно паровоза, хотя годится и вращение вокруг одного из концов.

[kis]

Цитата:

Система отсчёта в задаче - тот паровоз, который "везёт" стержень.

в таком случае, стержень относительно поезда покоится. Значит, скорость середины стержня относительно поезда равна нулю.
мне казалось в решение сказано, что мы ищем скорость стержня относительно неподвижной СО. т.е. смотрим на летящий стержень с земли. Совсем не понимаю, как выведена формула $r_c=(r_1 + r_2)/2$

[nikvic]

kis в сообщении #672211 писал(а):

в таком случае, стержень относительно поезда покоится. Значит, скорость середины стержня относительно поезда равна нулю.

"Покоится" только центр, сам стержень вращается (не обязательно равномерно).

Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме Р-В его концов.

[kis]

если честно, я плохо осознаю смысл радиус векторов из концов стержня. я знаю, что такое радиус вектор. но ведь у нас нету ни направления, ни модуля Р-В концов

[nikvic]

kis в сообщении #672215 писал(а):

если честно, я плохо осознаю смысл радиус векторов из концов стержня. я знаю, что такое радиус вектор. но ведь у нас нету ни направления, ни модуля Р-В концов

Р-В точки - стрелочка из начала координат в точку.
Возьмите началом коодинат середину отрезка и не парьтесь.

[kis]

проводим радиус векторы из середины стержня в концы стержня. эти радиус векторы равны, т.к. начало координат - середина стержня. теперь мне еще больше непонятно, что за величина $r_c = (r_1 + r_2)/2$. ведь если мы сложим два полученных вектора, то сумма будет равна нулю, т.к. векторы противонаправлены

[DimaM]

kis в сообщении #672200 писал(а):

к сожалению, я еще не дошел до этого момента, потому что не понял предыдущих этапов решения.

А это как раз первый этап ;).
Надо перейти в систему центра масс (середины стержня), в ней все просто - концы движутся с одинаковой скоростью, угловая находится в одно действие.
Чем разбираться непонятно в каком решении, проще решить самостоятельно, задача не настолько трудна.

[kis]

я пробовал решать самостоятельно. в первом посте описывал. начертив вокруг стержня окружность(стержень - диаметр), я спроецировал обе скорости на касательные проведенные к точкам касания окружности и стержня и на плоскость стержня. это неверный ход решения?

[nikvic]

DimaM в сообщении #672221 писал(а):

Надо перейти в систему центра масс (середины стержня),

Никаких масс - чистая кинематика.
Да и система отсчёта - отнюдь не точка...

[kis]

ну, с учетом все что сказали, я так и не понял, к сожалению, как получается формула $r_c = (r_1+r_2)/2$

[DimaM]

kis в сообщении #672225 писал(а):

я пробовал решать самостоятельно. в первом посте описывал. начертив вокруг стержня окружность(стержень - диаметр), я спроецировал обе скорости на касательные проведенные к точкам касания окружности и стержня и на плоскость стержня.

Попробовали. Не получилось. Почему бы не попробовать другой способ?
Я предлагаю для начала исключить продольное движение и посмотреть, какое останется.