Синус в радианах и градусах

[Ktina]

Доказать, что не существует такого натурального $n$, что

$$\sin n=\sin n^{\circ}$$

[nikvic]

Градус - обозначение конкретного действительного числа.
Какого?

[Ktina]

nikvic в сообщении #671689 писал(а):

Градус - обозначение конкретного действительного числа.
Какого?

$$\frac{\pi}{180}$$

Вы это имели в виду?

[nikvic]

Да.

[Cash]

Обычная школьная задача:
$\sin x - \sin y =0$
+ иррациональность $\pi$

-- Пн янв 14, 2013 23:10:50 --

Или еще можно так:
$\sin n^{\circ}$ - алгебраическое, а
$\sin n$ - трансцендентное

[Ktina]

Cash в сообщении #671705 писал(а):

Обычная школьная задача:
$\sin x - \sin y =0$
+ иррациональность $\pi$

-- Пн янв 14, 2013 23:10:50 --

Или еще можно так:
$\sin n^{\circ}$ - алгебраическое, а
$\sin n$ - трансцендентное

Я пошла совсем по другому пути: $\sin n^{\circ}$ может принимать ровно 181 значение.

[Cash]

Да, это достаточно очевидно. Но что это дает - всё равно не соображу.

[Ktina]

Cash в сообщении #671734 писал(а):

Да, это достаточно очевидно. Но что это дает - всё равно не соображу.

Это 181 значение может принимать только синус от целого числа градусов.
Дальше объяснять?

[nikvic]

Ktina в сообщении #671735 писал(а):

Дальше объяснять?

Ага.
И почему Ваше доказательство неприменимо для рационального положительного "эн"

[Cash]

Цитата:

Это 181 значение может принимать только синус от целого числа градусов

А целое значение радиан не может принимать целое значение градусов (по модулю $2\pi$). И так или иначе мы все равно приходим к задаче доказательства иррациональности $\pi$.

[Ktina]

Cash в сообщении #671831 писал(а):

И так или иначе мы все равно приходим к задаче доказательства иррациональности $\pi$.

Cash, Вы абсолютно правы. Однако, доказательство иррациональности $\pi$ выходит за рамки олимпиадной математики. Или я ошибаюсь?

[_Ivana]

Насчет $\pi$ не скажу, но в 8 классе на факультативе по математике нам задали задачку доказать иррациональность квадратного корня из двух.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #671860 писал(а):

Однако, доказательство иррациональности $\pi$ выходит за рамки олимпиадной математики. Или я ошибаюсь?

Выходит, конечно. Но упёртый школьник разобраться в доказательстве сможет. Формально интегралы и формула Ньютона-Лейбница изучаются в школе, а этим вполне можно обойтись. (Есть ещё доказательство Ламберта с цепными дробями и, кажется, без интегралов, но более сложное.)

[nikvic]

Ktina в сообщении #671860 писал(а):

Однако, доказательство иррациональности выходит за рамки олимпиадной математики.

Для задачи иррациональности не хватает - нужна бы трансцендентность.

[nnosipov]

nikvic в сообщении #671932 писал(а):

Для задачи иррациональности не хватает - нужна бы трансцендентность.

Не нужна, достаточно иррациональности $\pi$.