Свойство нормированных остатков

[Горьковчанин]

Пусть $N$ - некторое большое натуральное число. Рассмотрим числовую последовательность $r_k={\mathrm mod}(N,k)/k$. Интересен график разностей $r_n-r_{n-1}$. Сначала хаотические колебания от -1 до 1, затем странная регулярность. Как это объяснить? Как зависит длина участка хаоса от самого числа? Кто-нибудь с таким встречался?

[maxal]

Горьковчанин писал(а):

Пусть $N$ - некторое большое натуральное число. Рассмотрим числовую последовательность $r_k={\mathrm mod}(N,k)/k$. Интересен график разностей $r_n-r_{n-1}$. Сначала хаотические колебания от -1 до 1, затем странная регулярность. Как это объяснить? Как зависит длина участка хаоса от самого числа? Кто-нибудь с таким встречался?

$r_k$ можно записать в виде $r_k = \left\{\frac{N}{k}\right\},$ т.е. дробная часть от числа $\frac{N}{k}.$ Я подозреваю, что "странная регулярность" возникает при $k$ больших $\sqrt{N},$ когда целые части от $\frac{N}{k}$ и $\frac{N}{k+1}$ во многих случаях будут равны, и при этом $r_k - r_{k+1} = \frac{N}{k} - \frac{N}{k+1} = \frac{N}{k(k+1)}$ - вполне себе хорошая монотонная функция.