Простые в кольце

[Sonic86]

Пусть $q>2$ - простое. $\zeta:\zeta^q=1$ - примитивный корень из $1$.
Верно ли, что $p\in\mathbb{N}$ - простое в $\mathbb{Z}[\zeta] \Leftrightarrow p\not\equiv 1\pmod q$?
Сам пока не знаю. При $q=3$ - это верно. Возможно, что стрелка верна лишь вправо, но даже ее пока непонятно как доказывать. Считать норму в общем виде? В принципе, не сильно сложно, наверное, но как дальше...
В Постникове вроде нет, в Айрленде, Роузене - вроде тоже нет....

[apriv]

Теорема: пусть простое число $p$ не делит $n$, $f>0$ — наименьшее натуральное число такое, что $p^f\equiv 1\pmod n$. Тогда $p$ раскладывается в $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ в произведение $\varphi(n)/f$ различных простых.

[Sonic86]

Спасибо!
Значит если $p:p\equiv 1\pmod q$, то в $\mathbb{Z}[\zeta]$ $p$ составное, а обратное не верно.
А откуда теорема?

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #670975 писал(а):

А откуда теорема?

В Айрленде, Роузене есть (глава 13). Или Гекке, Лекции по теории алгебраических чисел.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #670986 писал(а):

В Айрленде, Роузене есть (глава 13). Или Гекке, Лекции по теории алгебраических чисел.

Ой как хорошо! Спасибо!