Момент инерции

[randy]

Как найти момент инерции однородного кольца относительно оси симметрии?

[AAMstudent]

Ну как? Тупо по определению... Знайте такое? Значит, сосчитайте $\int dm r^2$.
Получите $mr^2$. Либо, я вас не так понял...
($m$ - масса кольца, $r$ - его радиус)

[randy]

AAMstudent в сообщении #670749 писал(а):

Ну как? Тупо по определению... Знайте такое? Значит, сосчитайте $\int dm r^2$.
Получите $mr^2$. Либо, я вас не так понял...
($m$ - масса кольца, $r$ - его радиус)

как вы посчитали интеграл от функции, которая задана в общем виде? кстати, по определению нужно интегрировать не всю массу и весь радиус, а эти компоненты, относящиеся к бесконечно малым составляющим (МТ) кольца

[мат-ламер]

Надо учесть, что внешний радиус кольца больше внутреннего.

[randy]

мат-ламер в сообщении #670761 писал(а):

Надо учесть, что внешний радиус кольца больше внутреннего.

учитывать где? в интегральной формуле или в формуле суммы всех произведений масс точек на квадрат расстояний до оси?
в википедии есть вывод формулы толстостенного цилиндра, он разбивается на однородные кольца, массы которого указаны через выражение $dm=pdv=p2\pi rhdr$ ($p$-плотность)
почему объем представлен как $rdr$?

[AAMstudent]

Ясно, что вам не ясно.
Здесь [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Момент_инерции[/url] табличка с ними.

Судя по всему, вы пытаетесь разобраться с выводом его для "Полый толстостенный цилиндр массы $m$ с внешним радиусом $r_{2}$ и внутренним радиусом $r_{1}$"

Разбиваем мысленно наш цилиндр на цилиндрики, плотности $p$, толщиной $dr$, длиной $h$, каждый на своём расстоянии $r$ от оси.
Очевидно, масса каждого из них $dm=p 2 \pi r h dr$, т.е. объём каждого $dV = 2 \pi r h dr$.

Тогда, вклад таких цилиндриков в момент инерции
$dI = dm r^2=p 2 \pi r^3 h dr$.
Всё готово к празднику. Получаем, что момент инерции
$I = \int_{r_{1}}^{r_{2}}dI=\int_{r_{1}}^{r_{2}}p 2 \pi r^3 h dr$.
Возьмите его, учтите, как плотность связана с массой, и, если никто нигде не ошибся, получите верный результат.

[randy]

AAMstudent в сообщении #670805 писал(а):

Очевидно, масса каждого из них $dm=p 2 \pi r h dr$

масса равна произведению плотности на объем. как нашли объем кольца? $2\pi rh$ - формула длины поверхности кольца. $dr$ откуда появилось в выражении $p 2 \pi r h dr$?

[AAMstudent]

Цитата:

$2\pi rh$ - формула длины поверхности кольца

Неверно. С каких пор длина в СИ меряется в метрах квадратных?

$2\pi rh$ - формула площади внешней поверхности цилиндра. Если цилиндр тонкий, то можно домножить на толщину и получить объём. А по разбиению - такие цилиндры тонкие.

Как это понять? Возьмите цилиндр. Разрежьте его поперёк. Распрямите. Получите "параллелепипед", со сторонами $h$, $2\pi r$, $dr$. Его объём...

[Батороев]

randy в сообщении #670812 писал(а):

масса равна произведению плотности на объем. как нашли объем кольца? $2\pi rh$ - формула длины поверхности кольца. $dr$ откуда появилось в выражении $p 2 \pi r h dr$?

Объем тонкостенного кольца при его толщине $dr$, стремящейся к нулю, приближается к $2\pi rh$.

-- 12 янв 2013 22:43 --

$2\pi rh$ - формула не "длины поверхности кольца", а площади поверхности кольца.

[nikvic]

Самый быстрый способ - дважды использовать формулу для момента инерции сплошного цилиндра. Второй, коаксиальный бОльшему, с отрицательной массой

[AAMstudent]

nikvic, а можно чуть подробнее? С ходу не соображу, шутка, или нет...

[nikvic]

AAMstudent в сообщении #671029 писал(а):

nikvic, а можно чуть подробнее? С ходу не соображу, шутка, или нет...

Есть формула для мом. инерции (относительно оси) сплошного цилиндра известной массы и радиуса. Вырезать дырку == добавить её же с меньшей отрицательной массой и радиусом.
Эквивалентно "формуле" определённого интеграла по неопределённому

[мат-ламер]

nikvic в сообщении #671051 писал(а):

Есть формула для мом. инерции (относительно оси) сплошного цилиндра известной массы и радиуса.

Надо ли студенту на экзамене помнить формулы для моментов инерции разных тел? Хотя вывести их не составляет труда.

[nikvic]

мат-ламер в сообщении #671054 писал(а):

Надо ли студенту на экзамене помнить формулы для моментов инерции разных тел?

Студенты бывают разные.
Если я помню долбицу умножения, нужно ли мне её забыть?

[ewert]

На экзамене кольцо наверняка будет подразумеваться бесконечно узким. Правда, тогда его принято называть обручем, но иначе просто непонятно, какой оно формы. Если это шайба, то так и надо говорить -- "шайба". Если это тор, то, во-первых, так и надо говорить -- "тор", а во-вторых, немножко умучаешься выводить его момент инерции.