Задачи по мат.анализу (Функции нескольких переменных)

[diga]

Имеются пару задач по курсу математический анализ, Книга У.Рудин "Основы математического анализа". Не могли бы Вы объяснить с чего начать и с чего закончить (Алгоритм решения)?
1) Доказать что функция $f$ непрерывна в точке $ x $, если $D_1f,...,D_nf$ ограничена в некоторой окрестности этой точки.

2) Пусть $f$ - вещественная дифференцируемая функция на связном открытом множестве $E$
подмножества $R^n$, и пусть $f'(x)=0$ при всех $x$ принадлежащих$E$. Доказать, что $f$ постоянна на $E$.

3) Вычислить $f'(x)$ если $f(x)=|x|^2$, $x$ принадлежит $R^n$

Цитата:

1) Возник вопрос, как можно показать, что эти частные производные ограничены? Может их надо привести к непрерывности (из непрерывности частных производных следует что функция $f $ непрерывна). Если частные производные непрерывны в точке можно ли сказать что они там ограничены?

2) Возникает вопрос, что значит постоянная функция?

3) Не знаю как находить производные в $R^n$ не могу применить теорию на практике.

Спасибо за помощь.

[cool.phenon]

Первый раз вижу такой термин "ограниченность в точке".
1)Это обозначение частных производных? Если так, тогда у вас по условию они все ограничены.
2)Постоянная функция на множестве-принимает одно и то же значение во всех точках множества. Странное обозначение,производная функции многих переменных в данном случае неуместна.Производная функции многих переменных находится в том случае,если все переменные зависят от некоторого параметра.
3)Тут всё ясно, распишите покоординатно,что такое модуль $x$, в данном случае вектора.Хотя опять же, что имеется в виду под производной - непонятно.

[diga]

cool.phenon в сообщении #669913 писал(а):

1)Это обозначение частных производных? Если так, тогда у вас по условию они все ограничены.

Обозначение не мое. В Книге У.Рудина он именно таким образом обозначал частные производные. Даже если они ограничены, как можно доказать непрерывность?

Цитата:

2) Странное обозначение,производная функции многих переменных в данном случае неуместна.Производная функции многих переменных находится в том случае,если все переменные зависят от некоторого параметра.

В задаче именно такие условия были.

Цитата:

3)Тут всё ясно, распишите покоординатно,что такое модуль , в данном случае вектора.

То есть разложить по базису?

[cool.phenon]

1) Здесь нужно пользоваться определением частной производной.
2) Я прочитал ваш учебник, это обозначает не производную,а полный дифференциал функции. Просто перевод такой.
3)По всей видимости да, так как тут используются именно такие обозначения.

[diga]

cool.phenon в сообщении #669944 писал(а):

3)По всей видимости да, так как тут используются именно такие обозначения.

а в чем конкретно это разложение поможет в данной ситуации?

Пусть $e_1 . . . e_n $ стандартный базис тогда вектор $|x|^2$ разложим по этому базису и получим следующее: $|\sum x_j e_j|^2$

cool.phenon в сообщении #669944 писал(а):

1) Здесь нужно пользоваться определением частной производной.

Пусть $f$ отображает открытое множество $E$ подмножество $R^n$ в пространство $R^m$ , и имеет компоненты $f_1, . . . , f_m$ . Пусть $e_1 . . . e_n $ стандартный базис пространства $R^n$ . Определим на множестве $E$ функцию $D_j f_i$ равенствами $D_j f_i$(x)=\lim\frac {f_i (x+te_j)-f_i (x)}{t} $t\to 0 если, конечно, этот предел существует. Записывая $f_i (x)$ в виде $f_i (x_1, . . . , x_n)$ мы видим что $D_j f_i$ есть производная функции $f_i$ по $x_j$ при фиксированном значении остальных переменных. Вот собственно определение частных производных
2) с чего надо начать?

[SpBTimes]

1) Достаточно же теоремы Лагранжа
2) Ну равентство нулю в каждой точке дифференциала равносильно равенству нулю всех частных производных, т.е. $D_1f = D_2f = ... = D_nf = 0$ в любой точке $E$.
Если допустить, что $x \in E$, то можно показать, что в шаре $B(x, r) \in E$ функция постоянна. Выбрав приращение $h$ так, чтобы $[x, x + h] \in B(x, r) $, по Лагранжу получим, что $f(x + h) - f(x) = f'(x)h = 0$. А значит $f(x + h) = f(x)$, то есть значения внутри шара совпадают со значениями в центре шара.
Если теперь взять произвольные точки $x_0$ и $x_1$, то в силу связности $E$ найдется путь $x(t): [0; 1] \to [x_0; x_1]$ причем $x(0) = x_0; x(1) = x_1$. Рассмотрим $B(x_0, r) \in E$. В силу непрерывности $x(t)$ найдется такое число $\delta$, что $0 \leqslant t \leqslant \delta$ будет выполнено $x(t) \in B(x_0, r)$, а значит $f(x(t)) = f(x_0)$ (по доказанному выше).
Рассматривая всевозможные шары мы получаем, что для всех них значения совпадают с $f(x_0)$.

[diga]

SpBTimes в сообщении #669979 писал(а):

1) Достаточно же теоремы Лагранжа

То есть, пусть $f$ дифференцируема на некоторой окрестности точки $x$ и пусть далее она непрерывная в некоторой окрестности той же точки, то по Теореме Лагранжа имеем: $f(x+h)-f(x)=f'(x)(x-x+h)$ где $h$-приращение в окрестности точки x. $f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x-x+h)}$ и мы можем сказать что она ограничена?

[SpBTimes]

$|f(x + h) - f(x)| = |f'(c)h| \leqslant Mh$

[diga]

SpBTimes в сообщении #670110 писал(а):

$|f(x + h) - f(x)| = |f'(c)h| \leqslant Mh$

точно...

[diga]

SpBTimes в сообщении #670110 писал(а):

$|f(x + h) - f(x)| = |f'(c)h| \leqslant Mh$

хотя нет, потому что функция в $R^n$ , как правильно сказать, частные производные ограничены каждые в своей окрестности и поэтому мы не можем объединить в одну и использовать теорему Лагранжа... как то не по-русский выразился но думаю смысл понятен.
3) По определению производной это по сути $f:R^n\to R^m$
$x$ принадлежит $R^n$ а $f'(x)$ это линейное отображение $f:R^n\to R^m$
следует $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+r(h)$ где $r(h)$ - бесконечно малое
в нашем случае:
$f'(x):R^n\to R$ - линейная форма, значит
$|x+h|^2=|x|^2+f'(x)h+r(h)$
$f'(x)h=f_1 h_1 + . . . + f_n h_n$
если $x>0$ то имеем, по сути, определение частных производных
а как рассмотреть случай если $x=0$?

[SpBTimes]

diga в сообщении #670324 писал(а):

частные производные ограничены каждые в своей окрестности и поэтому мы не можем объединить в одну и использовать теорему Лагранжа...

Выберите минимальную. Это возможно, т.к. их конечное число

[diga]

SpBTimes в сообщении #670350 писал(а):

Выберите минимальную.

Простите, выбрать минимальную что это значит?

[bot]

SpBTimes возможно оговорился - я бы взял максимальную. Собственно всё очевидно - будучи
в одной из вершин параллелепипеда можно добраться до любой другой, двигаясь по его ребрам.

[diga]

bot в сообщении #670431 писал(а):

SpBTimes возможно оговорился - я бы взял максимальную. Собственно всё очевидно - будучи
в одной из вершин параллелепипеда можно добраться до любой другой, двигаясь по его ребрам.

Не могли ли бы вы более точно объяснить эту часть.. Не совсем понимаю почему Теорему Лагранжа в этом случае мы можем применить

[bot]

На каждом ребре имеем дело с дифференцируемой функцией одной переменной.