Теоретическая механика. Вращательное движение твёрдого тела.

[merovingen]

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста корректно ли поставлена задача.

Движение точки вращающегося тела задано уравнениями $x = 10\cos2t^2$; $y = 10\sin2t^2$ ($x$ и $y$ в см, $t$ - в $c$). Найти закон вращения, скорость и ускорение точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии $r = 6 см$. Начальная угловая скорость тела $\omega_0 = 0 \,c^-^1$.

[DimaM]

Задача поставлена корректно.

[merovingen]

Наставьте пожалуйста на путь истинный.

Мои мысли:
$\nu = \omega R$,
$a = R\sqrt{\omega^4+\varepsilon^2}$.

$\cos2t^2 = x/10$,

$\sin2t^2=y/10$,

$x^2/10^2+y^2/10^2=1$ - Эллипс.

Дальше продифференциировать оба уравнения по времени,
для нахождения $\nu = \sqrt{\nu^2_x+\nu^2_y}

$\nu_x=-10\sin(2t^2)4t$,
$\nu_y=10\cos(2t^2)4t$.

Дальше я в ступоре... Не могу понять как найти числовые значения проекций скорости или выразить время из уравнений движения. Или быть может я пошёл не тем путём?...

[DimaM]

merovingen в сообщении #669627 писал(а):

$x^2/10^2+y^2/10^2=1$ - Эллипс.

Я б даже сказал окружность.
Дальше можно записать $x = r\cos\omega t, y=r\sin\omega t$, отсюда найти $\omega$.
Затем $v=\omega r$ - линейная скорость, $a_n=\omega^2r$ - нормальное (центростремительное) ускорение, $a_t=\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}$ - тангенциальное ускорение.

[merovingen]

Ни как не могу понять, как выразить $\omega$. Подскажите пожалуйста.

[DimaM]

merovingen в сообщении #669649 писал(а):

Ни как не могу понять, как выразить $\omega$. Подскажите пожалуйста.

Под синусом-косинусом стоит $\varphi(t)$. Получается, $\varphi(t) = 2t^2$, отсюда $\omega = \frac{d\varphi}{dt}=4t$.

[nikvic]

DimaM в сообщении #669645 писал(а):

Дальше можно записать $x = r\cos\omega t, y=r\sin\omega t$,

Это - равномерное врщение, а у Вас?

[DimaM]

nikvic в сообщении #669658 писал(а):

DimaM в сообщении #669645 писал(а):

Дальше можно записать $x = r\cos\omega t, y=r\sin\omega t$,

Это - равномерное врщение, а у Вас?

Это произвольное вращение ($\omega$ может зависеть от $t$).
Хотя да, я соврал в предыдущем сообщении . Сейчас поправил.

[merovingen]

Условие задачи в первом сообщении. В нём не говорится какое вращение.
Не понятно, как быть со временем $t$, ведь оно не задано в числовом виде.

[DimaM]

merovingen в сообщении #669660 писал(а):

Не понятно, как быть со временем $t$, ведь оно не задано в числовом виде.

Скорость и ускорение будут зависеть от времени. Это нормально.

[merovingen]

Мне просто не понятно, как всё это привести к числовому виду.

[DimaM]

merovingen в сообщении #669662 писал(а):

Мне просто не понятно, как всё это привести к числовому виду.

Подставить конкретное значение (число) вместо времени.
Разве в задаче требуется получить в ответе число? По-моему нет, так как, в частности, просят найти закон вращения.

[merovingen]

Большое спасибо за участие. Только ясности не внесло. Суть в том что не понятно к какому виду нужно привести уравнения движения точки или что из них выразить. Если не сложно, дать конкретное наставление по данной задаче.

[DimaM]

merovingen в сообщении #669683 писал(а):

Если не сложно, дать конкретное наставление по данной задаче.

Закон вращения, в моем понимании, это зависимость угла поворота от времени ($\varphi(t)$). Зависимость написана здесь. Там же написана зависимость угловой скорости от времени.
Затем $v=\omega r$ - линейная скорость, $a_n=\omega^2r$ - нормальное (центростремительное) ускорение, $a_t=\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}$ - тангенциальное ускорение.
Больше ничего, вроде, не требуется.

[merovingen]

Всё это понятно, в учебнике Яблонского всё хорошо объяснено. Но вопрос в том, что в этой задаче делать с этими уравнениями движения точки, которые заданы по условию?