Комбинаторная задача о шахматных конях

[Ktina]

Можно ли на доске $4\times 4$ расставить чёрных и белых коней по одному в каждой клетке так, чтобы каждый белый конь бил ровно одного чёрного, а каждый чёрный конь бил ровно одного белого?

(А. Смирнов, Ленинградская олимпиада)

Если да, то сколькими способами это можно сделать?

Я нашла только один способ (с точностью до поворота доски): белые кони стоят на полях $a3, a4, b2, b4, c2, c4, d3, d4$, а на остальных полях -- чёрные.

Как найти остальные способы или доказать, что их нет?

[Cash]

У меня получилась вот такая расстановка
$ \begin{pmatrix} x_2 & \bar{x_3} & \bar{x_4} & \bar{x_1} \\ \bar{x_3} & x_3 & x_4 & \bar{x_4}\\ x_4 & \bar{x_4} & \bar{x_3} & x_3\\ x_1 & x_4 & x_3 & \bar{x_2} \end{pmatrix}$
Т.е. задаем левый нижний и левый верхний углы, а также значения по стороне в центральном квадрате.
Ну и поскольку переменой цвета и транспонированием мы можем всегда вывести $x_1=x_2=0$, то получается 4 различных решения.

[Ktina]

Cash, спасибо!
Как-то не додумалась перевести задачу на матричный язык.

[Cash]

(Оффтоп)

Ну, от матричного языка здесь только запись ответа.
Я хотел как таблицу записать, но с tabularом у меня почему-то не сложилось.

[Yu_K]

А как для больших размеров?

[Ktina]

Yu_K в сообщении #669751 писал(а):

А как для больших размеров?

Для бОльших размеров, по-моему, невозможно.

[g______d]

Для $5\times 5$ нельзя, проверяется руками.

[Sender]

Да, если поставить коня в центральную клетку и ещё 8, которых он бьёт, все остальные определяются однозначно.