Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье

[alleut]

Прямое:
$X_k = \sum_{m=0}^{N-1} x_m e^{-\frac{2 \pi i}{N} k m} \qquad k = 0, \dots, N-1$
Обратное:
$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} k n} \quad \quad n = 0,\dots,N-1$
Подставим первое во второе:

$$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} x_m e^{-\frac{2 \pi i}{N} k m} e^{\frac{2\pi i}{N} k n}=$$

$$ =\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} x_m \exp \left( i 2 \pi k (n-m) /N \right)$$

А вот как, собственно, справа получается $x_n$? Как я понимаю, должно что-то вроде дельта-функции получиться, которая вырежет из всех $x_m$ одно $x_n$, которых будет в итоге $N$ штук, $N$ сократится, и получится тождество.

[SSSTTT]

Меняешь порядок суммирования, тогда из-под внутренней суммы можно вынести $x_m$. Внутри получается геометрическая прогрессия, сворачиваешь ее, и видишь что при $m\ne n$ ее сумма 0, иначе 1. Получаешь результат.

[alleut]

Да, спасибо. Думал над этим, но не сразу понял, что при $m=n$ получается $N\cdot1/N =1 $

[Toucan]

SSSTTT в сообщении #668118 писал(а):

Меняешь порядок суммирования, тогда из-под внутренней суммы можно вынести . Внутри получается геометрическая прогрессия, сворачиваешь ее, и видишь что при ее сумма 0, иначе 1. Получаешь результат.

SSSTTT, предупреждение за фамильярность. Читайте Правила форума:

Forum Administration в Правилах форума #27356 писал(а):

1) Нарушением считается:
…
е) ..., фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы")...