2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разность произведений двух последовательных чисел
Сообщение14.03.2007, 19:50 
Здравствуйте!
Даны два примера:

11*12-9*10=6*7; 30*31-14*15=8*9*10;

Найти разницу произведений двух последовательных чисел, равную произведению
четырех последователных чисел?

 
 
 
 
Сообщение14.03.2007, 20:58 
Аватара пользователя
Да сколько угодно
$$(k^2+3k+1)(k^2+3k+2)-(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)$$

 
 
 
 
Сообщение14.03.2007, 21:08 
Аватара пользователя
Так-то оно так, только непонятно, для чего даны два примера :?:

 
 
 
 Наука о целых числах.(продолжение)
Сообщение16.03.2007, 18:52 
Формула из "сколько угодно"-тривиальна так,как даёт результат из одинаковых делителей

в левой и правой части равенства, а именно (R+1)(R+2), привожу решения удовлетворяющие

условиям: 165*166-149*150=7*8*9*10; Или для пяти делителей:

30242*30243-30237*30238=6*7*8*9*10; Разность произведений из двух последовательных

чисел разлогается на любое кол-во последовательных чисел.

 
 
 
 
Сообщение16.03.2007, 23:28 
Аватара пользователя
А так Вас устроит?
$$(4k^3+10k^2+7k)(4k^3+10k^2+7k+1)-(4k^3+10k^2+5k-1)(4k^3+10k^2+5k)=2k(2k+1)(2k+2)(2k+3)$$

Вообще любое чётное число $k\geqslant4$ представляется в искомом виде, причём все такие представления получаются следующим образом:
$$n(n+1)-m(m+1)=k$$
равносильно
$$(n-m)(n+m+1)=k.$$
Раскладываем $k=d_1d_2$, где $d_1\leqslant d_2-3$ и $d_1$ и $d_2$ разной чётности, и решаем систему
$$\left\{\begin{matrix}n-m=d_1;\\n+m+1=d_2.\end{matrix}\right.$$
Вот и всё.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group