Разность произведений двух последовательных чисел

[Anatolii]

Здравствуйте!
Даны два примера:

11*12-9*10=6*7; 30*31-14*15=8*9*10;

Найти разницу произведений двух последовательных чисел, равную произведению
четырех последователных чисел?

[RIP]

Да сколько угодно

$$(k^2+3k+1)(k^2+3k+2)-(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)$$

[Lion]

Так-то оно так, только непонятно, для чего даны два примера

[Anatolii]

Формула из "сколько угодно"-тривиальна так,как даёт результат из одинаковых делителей

в левой и правой части равенства, а именно (R+1)(R+2), привожу решения удовлетворяющие

условиям: 165*166-149*150=7*8*9*10; Или для пяти делителей:

30242*30243-30237*30238=6*7*8*9*10; Разность произведений из двух последовательных

чисел разлогается на любое кол-во последовательных чисел.

[RIP]

А так Вас устроит?

$$(4k^3+10k^2+7k)(4k^3+10k^2+7k+1)-(4k^3+10k^2+5k-1)(4k^3+10k^2+5k)=2k(2k+1)(2k+2)(2k+3)$$

Вообще любое чётное число $k\geqslant4$ представляется в искомом виде, причём все такие представления получаются следующим образом:

$$n(n+1)-m(m+1)=k$$

равносильно

$$(n-m)(n+m+1)=k.$$

Раскладываем $k=d_1d_2$, где $d_1\leqslant d_2-3$ и $d_1$ и $d_2$ разной чётности, и решаем систему

$$\left\{\begin{matrix}n-m=d_1;\\n+m+1=d_2.\end{matrix}\right.$$

Вот и всё.