Не делимость

[TOTAL]

$n^2+3n+5 = 33+11 \cdot (n-4) +(n-4)^2$

[DjD USB]

Shadow в сообщении #662492 писал(а):

Умножить на 4, выделить полный квадрат.

Я умножил и привел к виду $(2n+3)^2+11=121k\cdot4$ но очвидно левая часть на 121 не делится

-- Вс дек 23, 2012 20:19:44 --

vorvalm в сообщении #662450 писал(а):

$f(x)=x^2+3x+5\equiv 0\pmod {121},\;x=4\pmod{11}$
$f'(4)=2x+3=8+3\equiv 0\pmod{11}$
Сравнение $f(x)$ не имеет решения.
Бухштаб, теорема 158.

Извините, я не понял, как отсюдова следует что решений нет. Производная не должна делится на 11 иличто?

[vorvalm]

Бухштаб, теорема 159.

[Батороев]

DjD USB в сообщении #662413 писал(а):

У меня есть свое решение просто хотелось узнать, как еще можно решить

На мой взгляд, можно и "в лоб": При $n\equiv 4\pmod{11}$
$4^2+3\cdot4+5\equiv {33}\pmod {121}\not\equiv 0\pmod{121}$.

[vorvalm]

Батороев в сообщении #663366 писал(а):

DjD USB в сообщении #662413 писал(а):

У меня есть свое решение просто хотелось узнать, как еще можно решить

На мой взгляд, можно и "в лоб": При $n\equiv 4\pmod{11}$
$4^2+3\cdot4+5\equiv {33}\pmod {121}\not\equiv 0\pmod{121}$.

Нет, это не решение. А может при другом $n$ будет решение?

[DjD USB]

Цитата:

Нет, это не решение. А может при другом $n$ будет решение?

Вы имеете ввиду при другом остатке?

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #663391 писал(а):

Цитата:

Нет, это не решение. А может при другом $n$ будет решение?

Вы имеете ввиду при другом остатке?

Если сначала установлено, что число делится на 11 только при $n=11k+4$, а затем обнаружено, что при $n=11k+4$ число не делится на 121, то можно сделать вывод, что число не делится на 121 ни при каких $n.$

[DjD USB]

TOTAL в сообщении #663393 писал(а):

DjD USB в сообщении #663391 писал(а):

Цитата:

Нет, это не решение. А может при другом $n$ будет решение?

Вы имеете ввиду при другом остатке?

Если сначала установлено, что число делится на 11 только при $n=11k+4$, а затем обнаружено, что при $n=11k+4$ число не делится на 121, то можно сделать вывод, что число не делится на 121 ни при каких $n.$

Я знаю это. Просто не понятно, почему это не решение. Если подставить вместо $n$ число вида $11k+r$ и перебрать остатки, то очевидно, что $r=4$

[vorvalm]

В условии задачи об этом ничего не сказано. При $n=4$ мы имеем частное решение.
Нам надо общее.

[DjD USB]

vorvalm в сообщении #663401 писал(а):

В условии задачи об этом ничего не сказано. При $n=4$ мы имеем частное решение.
Нам надо общее.

Понятно. Я просто не о том подумал.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #663388 писал(а):

Нет, это не решение. А может при другом $n$ будет решение?

Это решение я привел на случай, когда уже выяснено, что исходное выражение делится на $11$ только при $n\equiv 4\pmod {11}$.

Тогда приведу другое решение:
$n^2+3n+5=(n+7)^2-11\cdot(n+4)$.

[vorvalm]

Да, это общее решение конкретного сравнения.
У Бухштаба дается более простое решение любого сравнения такого типа.
А что проще, то и принимается за основу.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #663449 писал(а):

Да, это общее решение конкретного сравнения.
У Бухштаба дается более простое решение любого сравнения такого типа.
А что проще, то и принимается за основу.

У нас же, навроде, олимпиады! Кто сумел найти свое решение, тот и молодец. Бухштаб - молодец, TOTAL - молодец! В себя тыкать пальцем не буду.

[vorvalm]

А зря!

[DjD USB]

Цитата:

Кто сумел найти свое решение, тот и молодец. Бухштаб - молодец, TOTAL - молодец!

А как же Shadow?