Не делимость

[DjD USB]

Доказать, что число $n^2+3n+5$ ни при каком натуральном $n$ не делится на 121.

[Sonic86]

Это олимпиадная задача?
Делимость на $11$ рассматривали? Что получилось?

[DjD USB]

Sonic86 в сообщении #662400 писал(а):

Это олимпиадная задача?
Делимость на $11$ рассматривали? Что получилось?

Оно может на 11 делится. Например при $n=4$

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #662402 писал(а):

Оно может на 11 делится. Например при $n=4$

После того как смогло поделиться на 11, остались силы поделиться на 11 ещё раз?

[Sonic86]

DjD USB в сообщении #662402 писал(а):

Оно может на 11 делится. Например при $n=4$

В таком случае делайте соответствующую подстановку и получите, что трехчлен на $11^2$ таки делится.

[DjD USB]

Sonic86 в сообщении #662407 писал(а):

DjD USB в сообщении #662402 писал(а):

Оно может на 11 делится. Например при $n=4$

В таком случае делайте соответствующую подстановку и получите, что трехчлен на $11^2$ таки делится.

Как делится если нет. У вас есть пример?

[Sonic86]

DjD USB в сообщении #662408 писал(а):

Как делится если нет. У вас есть пример?

Хм, действительно не делится Кажется я тогда раньше здесь кому-то наврал.
Но Вы подстановку все-таки сделайте.

[DjD USB]

Продеманстрируйте пожалуйста что вы имеете ввиду. У меня есть свое решение просто хотелось узнать, как еще можно решить

[TOTAL]

DjD USB в сообщении #662413 писал(а):

Продеманстрируйте пожалуйста что вы имеете ввиду. У меня есть свое решение просто хотелось узнать, как еще можно решить

$n=11k+s$
Найдите все $s$, с которыми $n^2 + 3n + 5$ делится на $11$.
Увидите, что с такими $s$ оно не делится на $121$.

[vorvalm]

$f(x)=x^2+3x+5\equiv 0\pmod {121},\;x=4\pmod{11}$
$f'(4)=2x+3=8+3\equiv 0\pmod{11}$
Сравнение $f(x)$ не имеет решения.
Бухштаб, теорема 158.

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #662450 писал(а):

Бухштаб, теорема 158.

Теорема 159 (по изданию 1966 года).

[vorvalm]

Да.

[TOTAL]

vorvalm в сообщении #662450 писал(а):

$f(x)=x^2+3x+5\equiv 0\pmod {121},\;x=4\pmod{11}$
$f'(4)=2x+3=8+3\equiv 0\pmod{11}$
Сравнение $f(x)$ не имеет решения.

$f(x)=x^2+3x+93\equiv 0\pmod {121},\;x=4\pmod{11}$
$f'(4)=2x+3=8+3\equiv 0\pmod{11}$
Сравнение $f(x)$ не имеет решения?

[Shadow]

Умножить на 4, выделить полный квадрат.

[vorvalm]

$f(x)=x^2+3x+93 \equiv \pmod{121},\; x\equiv 4 \pmod{121}