Равномерна ли последовательность по мод 1

[Sonic86]

Пусть $y_k$ - последовательность, $0\leqslant y_k\leqslant 1$. Известно, что

$$\lim\limits_{b\to +\infty}\frac{\sum\limits_k[ky_k\leqslant b]}{b}=1$$

(т.е. неявно предполагается, что для всякого $b$ сумма в числителе определена, т.е. имеет конечное число ненулевых слагаемых)
Верно ли, что последовательность $y_k$ равномерно распределена по модулю $1$, т.е. для любого $a:0<a<1$ верно $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n[y_k<a]=a$.
Здесь $[P(k)]$ - нотация Айверсона
Я пока вижу только, что из равномерности исходное свойство не следует. Т.е. либо данное свойство - сильнее равномерности, либо оно с ним никак не связано. А как прямо доказать пока не вижу.