2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Несколько задач на Теорию групп
Сообщение19.12.2012, 16:43 
Помогите сделать:

1) Пусть $\mathbb{U} \subset \mathbb{C}^\times$ - группа всех комплексных корней из единицы (т.е. всех таких $z \in \mathbb{C}^\times$, что $z^n = 1$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$). Постройте изоморфизм $\mathbb{Q} / \mathbb{Z} \cong \mathbb{U}$.

2) Изоморфны ли группы $\mathbb{Z}_{15} \times \mathbb{Z}_{30} \times \mathbb{Z}_{18}$ и $\mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{45} \times \mathbb{Z}_3$?

3) Найдите все классы сопряженности в группе $D_4$.



Я думаю во 2м номере нужно применить теорему о разложении конечно порожденных абелевых групп на циклические и примарные.. Но тогда вопрос, почему по этой теореме нельзя разложить $\mathbb{Z}_4$ как $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$..?

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение19.12.2012, 17:41 
nglain в сообщении #660671 писал(а):
Но тогда вопрос, почему по этой теореме нельзя разложить $\mathbb{Z}_4$ как $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$..?
Потому что циклическая $p$-группа неразложима --- в ней любые две нетривиальные подгруппы имеют нетривиальное пересечение.

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение19.12.2012, 18:15 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

В первой задаче совершенно естественный изоморфизм.

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение19.12.2012, 21:55 
во 2м номере не изоморфны т.к. первую группу можно разложить: $$\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9$$
А вторую: $$\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_3$$
ну а так как $\mathbb{Z}_4$ не изоморфна $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$, значит и исходные две группы не изоморфны.
Так можно рассуждать?

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение21.12.2012, 01:17 
Со 2 и 3 номерами разобрался. Помогите сделать 1...
Идут в голову только $f = e^{2\pi i \varphi }$, но тогда $\varphi \in \mathbb{R} $ как тогда быть?

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение21.12.2012, 03:15 
nglain в сообщении #661275 писал(а):
но тогда $\varphi \in \mathbb{R}$ как тогда быть?
Очень просто: считать, что $\varphi \in ...$ чему?

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение21.12.2012, 20:04 
$\varphi \in \mathbb{Q}$? Или все таки $\varphi \in \mathbb{Q} / \mathbb{Z}$??

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение21.12.2012, 20:06 
И как вы возведете $e$ в степень $2\pi i (\varphi+\mathbb Z)$?

 
 
 
 Re: Несколько задач на Теорию групп
Сообщение21.12.2012, 20:09 
nglain в сообщении #661543 писал(а):
$\varphi \in \mathbb{Q}$?
Да. Но только то отображение $f$ будет не изоморфизмом, а ... чем?

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group