Несколько задач на Теорию групп

[nglain]

Помогите сделать:

1) Пусть $\mathbb{U} \subset \mathbb{C}^\times$ - группа всех комплексных корней из единицы (т.е. всех таких $z \in \mathbb{C}^\times$, что $z^n = 1$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$). Постройте изоморфизм $\mathbb{Q} / \mathbb{Z} \cong \mathbb{U}$.

2) Изоморфны ли группы $\mathbb{Z}_{15} \times \mathbb{Z}_{30} \times \mathbb{Z}_{18}$ и $\mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{45} \times \mathbb{Z}_3$?

3) Найдите все классы сопряженности в группе $D_4$.



Я думаю во 2м номере нужно применить теорему о разложении конечно порожденных абелевых групп на циклические и примарные.. Но тогда вопрос, почему по этой теореме нельзя разложить $\mathbb{Z}_4$ как $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$..?

[nnosipov]

nglain в сообщении #660671 писал(а):

Но тогда вопрос, почему по этой теореме нельзя разложить $\mathbb{Z}_4$ как $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$..?

Потому что циклическая $p$-группа неразложима --- в ней любые две нетривиальные подгруппы имеют нетривиальное пересечение.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

В первой задаче совершенно естественный изоморфизм.

[nglain]

во 2м номере не изоморфны т.к. первую группу можно разложить:

$$\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9$$

А вторую:

$$\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_3$$

ну а так как $\mathbb{Z}_4$ не изоморфна $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$, значит и исходные две группы не изоморфны.
Так можно рассуждать?

[nglain]

Со 2 и 3 номерами разобрался. Помогите сделать 1...
Идут в голову только $f = e^{2\pi i \varphi }$, но тогда $\varphi \in \mathbb{R} $ как тогда быть?

[nnosipov]

nglain в сообщении #661275 писал(а):

но тогда $\varphi \in \mathbb{R}$ как тогда быть?

Очень просто: считать, что $\varphi \in ...$ чему?

[nglain]

$\varphi \in \mathbb{Q}$? Или все таки $\varphi \in \mathbb{Q} / \mathbb{Z}$??

[Joker_vD]

И как вы возведете $e$ в степень $2\pi i (\varphi+\mathbb Z)$?

[nnosipov]

nglain в сообщении #661543 писал(а):

$\varphi \in \mathbb{Q}$?

Да. Но только то отображение $f$ будет не изоморфизмом, а ... чем?