Задачи по теории вероятности - совместные распределения ++

[--mS--]

Другое дело.

А с Бесселевыми функциями я пас Нам такого вообще не читали
Можно сразу плотность разности считать (то же, что плотность суммы - распределение произведения стандартных нормальных симметрично) по формуле свёртки $f_{X+Y}(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty f_X(u)\,f_Y(t-u)\,du$. Всё-таки тройной интеграл, а не четверной

[Slumber]

Хорошо, спасибо вам большое. Думаю, мне в данной задаче хватит до интеграла.
Я попозже в этой теме выложу еще задачи, если не возражаете)).

[--mS--]

Нисколько не возражаем.

[Slumber]

Задача почти решена:

3.
Задача: Пусть случайный вектор $(\xi_1,\xi_2)$ равномерно распределен на единичном круге $\Omega =\left\lbrace{(x_1,x_2): x_1^2+x_2^2 \leq 1\right\rbrace$,
а $\xi = \xi_1^2+\xi_2^2$. Доказать, что величины $\zeta_k = \xi_k\sqrt{-2\xi^{-1}\ln{\xi}}$ являются независимыми стандартными нормальными.

Решение:
Плотность вектора $(\xi_1,\xi_2)$ равна $p_{\xi_1,\xi_2}(x,y)=\frac{1}{\pi}$; $x_1^2+x_2^2 \leq 1$;
Перейдем к полярным координатам:
$\varphi^{-1}:\left\lbrace\begin{array}{c} x = \rho\cos{\theta} \\ y = \rho\sin{\theta} \end{array}\right.$
$|J_{\varphi^{-1}}|=\rho$ - модуль якобиана,
Значит, новая плотность
$p(\rho,\theta)=\frac{1}{\pi}\rho$. $0\leq \rho \leq 1, 0\leq \theta < 2\pi$; (1)
Это действительно распределение, если проинтегрировать, будет 1.
Сразу запишу, как выглядит плотность распределения стандартных нормальных величин в полярных координатах:
$p(x,y)=\frac{1}{2\pi}\exp{(-\frac{(x^2+y^2)}{2})}$
$p(\rho,\theta)=\rho \frac{1}{2\pi}\exp{(-\frac{\rho^2}{2})}$ (2)
----
Теперь мне нужно найти плотность той страшной величины:
$\zeta_1 = \xi_1\sqrt{-2\xi^{-1}\ln{\xi}} = \rho \cos{\theta} \sqrt{-2\rho^{-2}\ln{\rho^2}}=\rho \cos{\theta} \sqrt{-4\rho^{-2}\ln{\rho}}$
Короче, я в формуле плотности я ищу вместо $\rho$ это $\rho \sqrt{-\rho^{-2}\ln{\rho}}$:
$\rho \sqrt{-4\rho^{-2}\ln{\rho}}<t$,
$-4\rho^{-2}\ln{\rho} < t^2/ \rho^2$,
$\ln{\rho} > -t^2/4$,
$\rho > exp{(-t^2/4)}$.
После подстановки в интеграл (1) и дифференцирования выходит формула (2), вместо $\rho$ стоит $t$.
----
Вопросы:
1). У меня вышла формула распределения двух ст. норм. величин. Искать $\rho\cos{\theta}$ как-то очень нехочется, тем более, что это похоже опять на функцию Бесселя.
Есть идея как-то приспособить теорему о преобразовании нормальных величин(через матрицу), из нее выходит, что если $X$ и $Y$ - ст.н., то и $X\cos\theta+ Y\sin\theta$ - стандартная нормальная.
2). Правомерно ли было заменять $\xi$ на $\rho$ вот так в формуле. Потому, что например в интеграле нельзя - якобиан нужен.
3).И как мне доказать независимость $\zeta_1,\zeta_2$?

[--mS--]

Ну для начала: плотность вектора - хоть в декартовых, хоть в полярных координатах - не равна ни тому, ни другому интегралам. Оба эти интеграла равны единице.

[Slumber]

Да, прошу прощения, опять. Сейчас поправлю.

-- 20.12.2012, 15:18 --

Да, и поправил дзету через $\rho$.

[--mS--]

И потом: ниоткуда не вышло никакого нормального распределения. Величина $\varphi=\sqrt{-4\ln \rho}$ имеет совсем не нормальное распределение. Вычислите по определению $\mathsf P\left(\rho>e^{-t^2/4}\right)$ - это вероятность точке, выбранной наудачу в круге, попасть за пределы круга с радиусом $e^{-t^2/4}$. А за ней и плотность.

Кроме того, даже если бы она и имела нормальное распределение, у Вас получились не две случайных величины, а одна. Две получатся, когда эту величину придётся умножать то на косинус, то на синус.

Надо искать совместное распределение $(\varphi\cos\theta,\, \varphi\sin\theta)$, зная плотности $\varphi$ и $\theta$, и зная их независимость. У Вас там где-то мелькали слова про изменение плотности при функциональном преобразовании вектора - тут как раз можно формулку применить.

[Slumber]

--mS-- в сообщении #661118 писал(а):

И потом: ниоткуда не вышло никакого нормального распределения. Величина $\varphi=\sqrt{-4\ln \rho}$ имеет совсем не нормальное распределение.

На всякий случай - у меня величина $\rho\cos\theta\sqrt{-2\rho^{-1}\ln \rho}$.
Я из распределения $p(\rho, \theta)$ нашел $p(\rho\sqrt{-2\rho^{-1}\ln \rho},\theta)$. И это последнее выглядит как распределение двумерного нормального вектора. По-моему это пока все в порядке, потому что я начинал с двухмерного равномерно распределенного вектора и подкорректировал затем радиус. Величина $\varphi$ разумеется не имеет нормального распределения, как не имеет его радиус при переходе к полярным координатам для обычного н.р.вектора.

[--mS--]

Вообще-то у Вас именно такая величина, как я написала. И никакой иной быть там не может. $\sqrt{x^{-2}}=1/x$, $x>0$.

Повторяться не буду. Ничего там не в порядке.

[Slumber]

Извините, я не понял, объясните, пожалуйста поподробнее. Фи не должно иметь нормального распределения в принципе.

Цитата:

Надо искать совместное распределение $(\varphi\cos\theta,\, \varphi\sin\theta)$, зная плотности $\varphi$ и $\theta$, и зная их независимость.

Ну хорошо, возьмем
$P(\varphi\cos\theta<t) = \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{t}{\cos\theta}}\exp\frac{\rho^2}{2}d\frac{\rho^2}{2}d\theta = \int\limits_{0}^{2\pi}(\exp^{\frac{t}{\cos\theta}}-1)d\theta$
Второе соостветственно
$P(\varphi\sin\theta<t) =\int\limits_{0}^{2\pi}(\exp^{\frac{t}{\sin\theta}}-1)d\theta$

-- 20.12.2012, 16:14 --

Переведите в полярные координаты совместное распределение двух независимых ст.н. величин - угол имеет равномерное распределение, а радиус - совсем не нормальное!

[--mS--]

Slumber в сообщении #661106 писал(а):

Теперь мне нужно найти плотность той страшной величины:
$\zeta_1 = \xi_1\sqrt{-2\xi^{-1}\ln{\xi}} = \rho \cos{\theta} \sqrt{-2\rho^{-2}\ln{\rho^2}}=\rho \cos{\theta} \sqrt{-4\rho^{-2}\ln{\rho}}$

Сократите всё сначала, что можно.

Slumber в сообщении #661136 писал(а):

Извините, я не понял, объясните, пожалуйста поподробнее.

Про что? Вы вычислили функцию распределения величины $\varphi$ и её плотность? Что получилось?

Slumber в сообщении #661136 писал(а):

Ну хорошо, возьмем
$P(\varphi\cos\theta<t) = \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{t}{\cos\theta}}\exp\frac{\rho^2}{2}d\frac{\rho^2}{2}d\theta = \int\limits_{0}^{2\pi}(\exp^{\frac{t}{\cos\theta}}-1)d\theta$

Во-первых, $\cos\theta$ местами отрицателен. Во-вторых, нормирующий множитель при плотности $\theta$ потерян. Ну а в третьих, не нужны такие интегралы здесь совсем.

У Вас был один вектор $(\varphi,\, \theta)$. Напишите его плотность распределения. Вы применили к нему функцию $(g_1(x_1,x_2),\, g_2(x_1,x_2))$. Получили новую пару величин $(\varphi \cos\theta, \varphi\sin\theta)$.

Как выразить плотность этого нового вектора через плотность старого? Якобиан там должен вылазить и т.д. - Вы только что упоминали об этом:

Slumber в сообщении #660283 писал(а):

Отображение ... - вырожденное, я не могу воспользоваться якобианом...

[Slumber]

Цитата:

У Вас был один вектор $(\varphi,\, \theta)$. Напишите его плотность распределения.

$p=\frac{1}{2\pi}t\exp(-\frac{t^2}{2}) dtd\theta$ - оно же - совместная плотность двух ст.норм.

Цитата:

Вы применили к нему функцию $(g_1(x_1,x_2),\, g_2(x_1,x_2))$. Получили новую пару величин $(\varphi \cos\theta, \varphi\sin\theta)$.

Отображение у меня
$x' = x\cos\theta$; $y'=x\sin\theta$;
Якобиан = x, обратного = 1/x.
И я получу распределение $p(x,\theta) \mapsto p(x',y')=\frac{1}{2\pi}\exp^{(x^2+y^2)}$, которое распадается в независимые.
Спасибо, просто тяжело было это все прокрутить))

[--mS--]

Slumber в сообщении #661147 писал(а):

$p=\frac{1}{2\pi}t\exp(-\frac{t^2}{2}) dtd\theta$ - оно же - совместная плотность двух ст.норм.

Да с чего же это вдруг совместная плотность двух стандартных нормальных? Плотностью распределения двумерного вектора $(\eta,\,\zeta)$ называется неотрицательная функция двух переменных $f(u,v)$ такая, что, например, для любых $(x,y)$ функция совместного распределения $F(x,y)=\mathsf P(\eta < x,\,\zeta < y)$ равна интегралу

$$\int\limits_{-\infty}^x \int\limits_{-\infty}^y f(u,v)\, dv\, du.$$

Для стандартного нормального вектора

$$ \mathsf P(\eta < x,\,\zeta < y) = \int\limits_{-\infty}^x \int\limits_{-\infty}^y \dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{u^2+v^2}{2}}\, dv\, du . $$

Тогда как плотность $p(t, v)=\frac{1}{2\pi}t\exp(-\frac{t^2}{2})$, $v\in[0, 2\pi]$ является плотностью распределения с функцией распределения

$$ \mathsf P(\rho < x,\,\theta < y) = \int\limits_{0}^x \int\limits_{0}^y \frac{1}{2\pi}t\exp(-\frac{t^2}{2}) \, dv\, dt. $$

Это совершенно другая функция распределения, ни разу не стандартного нормального вектора. Вы заменяете под интегралом переменные и полагаете, что это будет плотность того же объекта: нет, совсем иного, ибо область интегрирования изменится.

Slumber в сообщении #661147 писал(а):

И я получу распределение $p(x,\theta) \mapsto p(x',y')=\frac{1}{2\pi}\exp^{(x^2+y^2)}$, которое распадается в независимые.

Минус половину не потеряйте в показателе экспоненты

[Slumber]

Цитата:

Это совершенно другая функция распределения, ни разу не стандартного нормального вектора. Вы заменяете под интегралом переменные и полагаете, что это будет плотность того же объекта: нет, совсем иного, ибо область интегрирования изменится.

Хорошо, учту, спасибо. Вроде бы здесь все получилость.

А вот теперь еще такая задача(чи),
4.
Величины $\zeta_i$ - стандартные нормальные, назовем их плотность для краткости $f_N(t)$. Доказать, что следующие величины нормальные и найти их параметры:
$\zeta_1\zeta_2/\sqrt{\zeta_1^2+\zeta_2^2}$,
$(\zeta_1+\zeta_2\zeta_3)/\sqrt{1+\zeta_3^3} \simeq N(0,1)$.
Во первом случае параметры вроде бы связаны соотношением $1/\sigma = 1/\sigma_1 + 1/\sigma_2$

У меня есть очень громоздкое решение первой через преобразования Лапласа, использующее факт, что $1/\zeta^2=1/\zeta_1^2+1/\zeta_2^2$ (Климов, Кузьмин, номер 100) и указание относительно второй посчитать условную плотность при условии фиксированного $\zeta_3$ (Зубков, Севастьянов, номер 3.199). Потому возник вопрос о решении этого дела без преобразований Лапласа и характеристических функций, потому что оно у меня совсем в другом разделе.

Попробую использовать условную вероятность для второй задачи,
Можно посчитать совместное распределение,
$(\zeta_1, \zeta_2) \mapsto (\zeta_1/\sqrt{1+c^3}, c\zeta_2/\sqrt{1+c^3})$, якобиан $c/(1+c^3)$, обратного - $(1+c^3)/c$, но дальше что-то сложно, тогда
Можно посчитать сумму без сверток сразу, ведь для фиксированного с они независимы, дисперсии должны складываться:
$\zeta_1+\zeta_2 \simeq N(m_1+m_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$
так, что если матожидания нулевые $\zeta_1'=u\zeta_1$, то $f_{\zeta_1'}(t)=\frac{1}{u}f_{\zeta_1}(\frac{t}{u})$, множитель в данном случае выходит не что иное, как корень из дисперсии,
Должно быть $f_{\zeta_1'+\zeta_2'}(t|c) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}f_N(\frac{t}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}})$, где $\sigma_1=1/\sqrt{1+c^3}, \sigma_2=c/\sqrt{1+c^3}$
Теперь умножаю по идее на $f_N(c)$, все должно как-то красиво посокращаться, но выходит
в показателе экспоненты под минусом $\frac{t^2(1+c^3) + c^2(1+c^2)}{1+c^2}$, спереди под корнем еще хуже и корень у $2\pi$ уходит.

С первой все еще сложнее.

[--mS--]

По второй: при фиксированном $\zeta_3=c$ в числителе не $\zeta_1+\zeta_2$, а $\zeta_1+c\zeta_2$, вот всё и сократится. См. условие задачи, нет там никаких кубов.

По первой: как раз очень короткое и изящное решение в задачнике. А какая может быть альтернатива - только выписывать интеграл от совместной плотности по области $xy/\sqrt{x^2+y^2}< t$.

Или тоже через условные плотности.