Приключенческие числа, убойные числа

[Ktina]

а) Назовём натуральное число приключенческим, если для него выполняется

$$d_{\min}^2+2=d_{\max}$$

Найти все приключенческие числа и доказать, что других нет.

б) Назовём натуральное число убойным, если для него выполняется

$$d_{\min}^6+6=d_{\max}$$

Найти все убойные числа и доказать, что других нет.

($d_{\min}$ и $d_{\max}$ это наименьший и наибольший собственный (отличный от 1 и самого числа) делитель)

[Aritaborian]

Нашёл перебором, доказывать лень ;-) Правильно ли?

(Оффтоп)

Приключенческие: 12, 33.
Убойные: 140, 2205, 78155.

[Cash]

$d_{\min}^n+n=d_{\max}$
Если $n+1$ - простое, то оно делит или $a^n + n$ или $a$
Поэтому $d_{\min} \leqslant n+1$.
Поскольку $d_{\min}$ - простое, то ответом будут числа вида
$p(p^n+n)$, по простым $p \leqslant n+1$
Нужно только отсеять те, у которых $(p^n+n)$ имеет делитель, меньший $p$

[VAL]

Cash в сообщении #659571 писал(а):

$d_{\min}^n+n=d_{\max}$
Если $n+1$ - простое, то оно делит или $a^n + n$ или $a$
Поэтому $d_{\min} \leqslant n+1$.
Поскольку $d_{\min}$ - простое, то ответом будут числа вида
$p(p^n+n)$, по простым $p \leqslant n+1$
Нужно только отсеять те, у которых $(p^n+n)$ имеет делитель, меньший $p$

... после чего останутся числа аккурат из предыдущего поста, поскольку:
$p^2+2$ кратно $3$ при простых $p>3$;
$p^6+6$ кратно $5$ при $p=7$;
$p^6+6$ кратно $7$ при простых $p>7$.

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #659565 писал(а):

Нашёл перебором, доказывать лень

Да тут доказать легче, чем перебрать
Однако, меня опередили, пока я дрыхла.

-- 17.12.2012, 10:15 --

Aritaborian в сообщении #659565 писал(а):

Правильно ли?

(Оффтоп)

Приключенческие: 12, 33.
Убойные: 140, 2205, 78155.

Правильно.

-- 17.12.2012, 10:17 --

А теперь -- продолжение.
Для каждого натурального $n$ доказать, что количество чисел, для которых

$$d_{\min}^n+n=d_{\max}$$

конечно.

[Cash]

Здесь точно также доказывается, что $d_{\min}$ не может превосходить наименьшего простого делителя $n+1$.

[VAL]

Ktina в сообщении #659612 писал(а):

А теперь -- продолжение.
Для каждого натурального $n$ доказать, что количество чисел, для которых

$$d_{\min}^n+n=d_{\max}$$

конечно.

А разве это не доказано выше? (у Cash)

-- 17 дек 2012, 10:41 --

Пока формулировал, он уже сам откликнулся

[Cash]

Там доказано только для $n = p-1$, $p$ - простое
И по-моему я поторопился, что легко переносится на все числа...
Должно быть легко, но...

[VAL]

Cash в сообщении #659626 писал(а):

Там доказано только для $n = p-1$, $p$ - простое
И по-моему я поторопился, что легко переносится на все числа...
Должно быть легко, но...

Угу. Надо подумать.

[Ktina]

VAL в сообщении #659636 писал(а):

Cash в сообщении #659626 писал(а):

Там доказано только для $n = p-1$, $p$ - простое
И по-моему я поторопился, что легко переносится на все числа...
Должно быть легко, но...

Угу. Надо подумать.

Эта задача была, кажется, либо на Всеукре, либо на отборе на Всеукр, либо на украинском отборе на международку. Надо будет поискать.

-- 17.12.2012, 11:25 --

Помню только, что условие этой задачи я видела на украинском языке.

[Cash]

Это хороший уровень, а то я думал, что с простой задачей не справляюсь :)
Энтузиазм у меня поутих после того как обнаружил, что
$7^{34}+34$ и $13^{54}+54$ - простые

[Ktina]

Cash в сообщении #659675 писал(а):

Это хороший уровень...

Тогда, скорее всего, это украинский отбор на международку. Только вот не помню, какого года.
Те два частных случая, что я привела вначале, годятся для районной олимпиады.

[Aritaborian]

Ktina в сообщении #659612 писал(а):

Да тут доказать легче, чем перебрать

Кому как ;-) Мне проще две строчки кода написать... Хотя доказывать, безусловно, интереснее. И методологически правильнее ;-)

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #659700 писал(а):

Ktina в сообщении #659612 писал(а):

Да тут доказать легче, чем перебрать

Кому как Мне проще две строчки кода написать... Хотя доказывать, безусловно, интереснее. И методологически правильнее

Ах, так Вы не в уме перебирали...

[arseniiv]

А как насчёт чисел, у которых $d_{\min}^{k!} + k! = d_{\max}$?