Через прямую
![[math]$2x=y=2z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/1/bd162d5fa8724f8dae37df7989e1293582.png "[math]$2x=y=2z$")
[math] провести плоскость π так,чтобы данная прямая была биссектрисой угла,образуемого линиями пересечения плоскости π с плоскостями у=0 и х+у=0.Система координат прямоугольная.
Соображения такие:
Пусть ax+by+cz+d=0 - уравнение плоскости п
Так как исходные прямая и плоскости проходят через точку начала координат, то и плоскость π будет проходить через нулевую точку,следовательно D=0 в уравнении плоскости π.
Далее, прямая 2x=y=2z лежит в плоскости п, координаты ее направляющего вектора прямой равны (1, 2, 1). Пусть (a,b,c) - координаты вектора, перпендикулярного направляющему вектору прямой 2x=y=2z. Следовательно, а+2b+c=0 уравнение вектора нормали плоскости п.
Чтобы найти параметры а,b,c запишем условие "биссектрисности" прямой 2x=y=2z относительно прямых, образованных пересечением плоскости п с плоскостями у=0 и х+у=0.
Найдем эти прямые.
Решаем систему y=0 и аx+2by+cz=0 получаем уравнение прямой r1=(0,0,0)+(c, o, a)t а1-вектор с координатами (c,o,a)
Аналогично, х+у=0 и аx+2by+cz=0 получаем уравнение прямой r2=(0,0,0)+(с, -с, 2b-a)t а2-вектор с координатами (с,-с,2b-a)
Расстояние от точки А(1,2,1), принадлежащей прямой 2x=y=2z, до прямой r1 будет равно |(А х а1)|/sqrt(a1^2)
Расстояние от точки А(1,2,1), принадлежащей прямой 2x=y=2z, до прямой r2 будет равно |(А х а2)|/sqrt(a2^2)
Приравнивая эти два расстояние, мы должны были получить уравнение биссектрисы,записать систему состоящую из уравнения плоскости п (а+2b+c=0 ) и уравнения биссектрисы,получить соотношения а:b:с и подставить эти значения в уравнение плоскости ах+by+cz=0
Но на шаге после приравнивания расстояний,возведения в квадрат обеих частей и приведения подобных получаем уравнение 3 порядка. (Вообще говоря,четвертого,но старшие члены сокращаются).
Подозрения насчет правильности получившегося и вообще.
13.12.2012, 16:29 
