Функции k-значной логики. Многочлен по модулю.

[ogcjm]

Добрый вечер, товарищи математики. Столкнулся со следующим вопросом. Пусть, например, есть функция $ f(x) = x (mod 4)$, которая задана во 2-ой форме. Вторая форма этой функции имеет вид:

$ f(x) = j_0(x-1) + 2*j_0(x-2) + 3 * j_0 (x-3)$. Вот тут у меня возникает недопонимание. Верно ли, что если не существует полинома для функции $ j_0 (x-1)$, то не существует полинома для функции $ f(x) $. Точнее полином, то существует $ f(x) = x (mod 4)$, но для $ j_0 (x-1)$ полинома нет. Тогда, как объяснить то, что для $ f(x) $ он есть???

-- 08.12.2012, 21:19 --

Противоречие получается при попытке найти полином по модулю 4 для функции$J_0 (x-1)$ методом неопределённых коэффициентов.

[Sonic86]

ogcjm в сообщении #655920 писал(а):

Верно ли, что если не существует полинома для функции $ j_0 (x-1)$, то не существует полинома для функции $ f(x) $.

В общем случае нет: если брать, например, $g(n)=n+(-1)^n$, то $g(n)+g(n+1)$ - многочлен, хотя $g(n)$ - не многочлен. В Вашем случае не знаю.
А что за $j_0(x)$?

[ogcjm]

Это характеристическая функция 1-го рода $j_i(x) = 1$? , если $x=i$ и $0$ в противном случае.

[Sonic86]

ogcjm в сообщении #656688 писал(а):

Это характеристическая функция 1-го рода $j_i(x) = 1$? , если x = i и 0 в противном случае.

Ее нахождение сводится к нахождению $j_0(x)$. Для простого модуля $p$ она известна: $j_0(x)=1-x^{p-1}\pmod p$. Вот только $4$ - составное....
Так: пусть $j_0(0)=1 \pmod 4$, $x\neq 0\Rightarrow j_0(x)=0 \pmod 4$ и $j_0(x)$ - многочлен. $2\mid 4$, тогда $j_0(0)=1 \pmod 2$, $j_0(2)=0 \pmod 2$, но так как $j_0(x)$ - полином, то $j_0(2)= j_0(0)\pmod 2$ - получаем противоречие. Значит по модулю $4$ для $j_0(x)$ многочлена нет.