Доказательство теоремы Ферма для степени три

[gennady]

Доказательство теоремы Ферма для степени три

1. Рассмотрим уравнение:

$x^3+y^3=z^3. \qquad$ (1)
Теорема Ферма: уравнение (1) не имеет решений в целых числах.
Рассмотрим уравнение (1) при условии $(x, y, z)$ целые положительные числа:
$0<x<y<z. \qquad$ (2)
Пусть $x=A, \qquad A$ - целое число. Уравнение (1) запишем в виде:
$z^3-y^3=A^3, \qquad z>y>A. \qquad$ (3)
Целое число $A^3$ представим в виде разложения на целочисленные множители:
$A^3=V \cdot U, \qquad U>V \geq 1. \qquad$ (4)
$(V, U)$ - целочисленные множители, на которые можно разложить целое число $A^3$ при условии $U>V \geq 1.$ С учётом (2) и (4), уравнение (3) можно представить в виде системы двух уравнений:
$z-y=V, \qquad$ (5)
$z^2+zy+y^2=U. \qquad$ (6)
С учётом (5), уравнение (3) примет вид:
$(V+y)^3-y^3=A^3. \qquad$ (7)
Для уравнения (3) справедливо условие
$z<A+y. \qquad$ (8)
С учётом (5), неравенство (8) есть
$A>V. \qquad$ (9)
При условии $V \geq A$, уравнение (7) не имеет решений в целых числах $(y, V, A)$.
Итак, для уравнения (7), имеем следующие условия:
$(V+y)>A, \qquad y>A>V. \qquad$ (10)
В уравнении (7), $(V, A)$ - целые числа одной чётности, по определению.

2. При условии $V=1$, уравнение (7) имеет вид:

$(1+y)^3-y^3=A^3, \qquad y>A \geq 3. \qquad$ (11)
$A$ - нечётное число, по определению. Уравнение (11) не имеет решения в целых числах $(y, A)$.
При условии $V=2$, уравнение (7) имеет вид:
$(2+y)^3-y^3=B^3, \qquad y>B \geq 2. \qquad$ (12)
$B$ - чётное число, по определению. Представим чётное число $B$ в общем виде:
$B=2^N \cdot A, \qquad N \geq 1, \qquad$ (13)
$A$ - нечётное число, $A \geq 1$.
С учётом (13) и при условии $y=2m, \qquad m \geq 1$, уравнение (12) есть:
$(1+m)^3-m^3=2^{3(N-1)} \cdot A^3. \qquad$ (14)
При условии $N=1$, уравнение (14) принимает вид (11): $m=y, \qquad m>A \geq 3$.
При условии $N \geq 2$, равенство (14) невыполнимо, левая часть равенства -нечётное число.
С учётом (13) и при условии $y=2m-1, \qquad m \geq 1$, уравнение (12) есть:
$(2m+1)^3-(2m-1)^3=2^{3N} \cdot A^3. \qquad$ (15)
Равенство (15) преобразуем к виду:
$12m^2+1=2^{3N-1} \cdot A^3. \qquad$ (16)
Для целых чисел $(m, A)$, равенство (16) невыполнимо, левая часть равенства - нечётное число.

3. Рассмотрим уравнение (7) при условии $V \geq 3$.

С учётом (4), представим уравнение (7) в виде:
$V^2+3yV-(U-3y^2)=0, \qquad y>A>V \geq 3. \qquad$ (17)
При условии $U>3y^2, \qquad (A>3V)$, уравнение (17) имеет одно положительное решение:
$2V= \sqrt{4U-3y^2}-3y. \qquad$ (18)
Решение (18) для $2V$ есть целое число при условии:
$4U-3y^2=9d^2, \qquad$ (19)
$d$ - целое число.
С учётом (19), решение (18) имеет вид:
$2V=3(d-y), \qquad d>y. \qquad$ (20)
Согласно (20), $(d, y)$ целые числа одной чётности.
При условии $d>y$, для целых чисел $(d, y)$, имеет место равенство:
$d=y+2k, \qquad k \geq 1. \qquad$ (21)
С учётом (21), решение (20) принимает вид:
$V=3k, \qquad k \geq 1, \qquad$ (22)
$(k, V)$ - целые числа одной чётности.
С учётом (21), равенство (19) имеет вид:
$U=3(d^2-k \cdot d+k^2), \qquad d>k \geq 1. \qquad$ (23)
С учётом (4) и (22), запишем (23) в виде:
$n^3-m \cdot n^2+m^{2} \cdot n-3A^3=0, \qquad$ (24)
$n=3k, \qquad m=3d. \qquad$ (25)
В уравнении (24), введем новую переменную
$t=n- \frac{m}{3}. \qquad$ (26)
С учётом (26), уравнение (24) принимает вид:
$t^3+3p \cdot t+2q=0, \qquad$ (27)

$p=2(\frac{m}{3})^2, \qquad 2q=7(\frac{m}{3})^3-3A^3. \qquad$ (28)

С учётом (25), выражения (26) и (28) имеют вид:
$t=3k-d, \qquad$ (29)
$p=2d^2, \qquad 2q=7d^3-3A^3. \qquad$ (30)
Согласно (10) и (21), справедливо неравенство $d>y>A$.
Согласно (30), $p>0, \qquad q>0$. Число действительных решений уравнения (27) зависит от знака дискриминанта $D=q^2+p^3$. Так как $D>0$, то уравнение (27) имеет одно действительное решение и два мнимых (мнимые решения не рассматриваем). Для решения уравнения (27) применим формулы Кардана [1]. В результате действительное решение уравнения (27) равно:

$t=(\frac{1}{2})^{1/3} \cdot ((r-s)^{1/3}-(r+s)^{1/3}), \qquad$ (31)

$r=\sqrt{s^2+32d^6}, \qquad$ (32)

$s=7d^3-3A^3, \qquad d>A. \qquad$ (33)

С учётом (21), (29) и (31), решение уравнения (7) для $y$ равно:

$y=d+ \sqrt[3]{4} \cdot ((r+s)^{1/3}-(r-s)^{1/3}), \qquad$ (34)

Согласно (32), для целых чисел $(s, d), \qquad r$ или целое число, или иррациональная величина.

4. Запишем (32) в виде:

$s^2+2u^2=r^2, \qquad u=4d^3. \qquad$ (35)
Так как $d>A$, то для (35) справедливо неравенство $r>s>u$. При условии $r=m \cdot u, \qquad s=n \cdot u$, равенство (35) имеет вид:
$m^2-n^2=2, \qquad m>n \geq 1.$
Для целых чисел $(m, n)$, данное равенство невыполнимо. В этом случае, $(s^2+2u^2)$ не является полным квадратом целого числа. Следовательно, $r$ иррациональное число и решение (34) для $y$ не является целым числом.
Если $(s, u, r)$ взаимно простые числа и $(s, r)$ нечётные числа, то решения уравнения (35) есть:
$s= \pm (a^2-2b^2), \qquad u=a \cdot b, \qquad r=a^2+2b^2. \qquad$ (36)
$(a, b)$ - положительные, взаимно простые числа; $a$ - нечётное число, $s$ - положительное число.
Формулы (36) дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах $(s, u, r)$, [2].
Согласно (33), если $(d, A)$ целые числа разной чётности, то $s$ - нечётное число.

[nnosipov]

gennady в сообщении #655756 писал(а):

2. При условии $V=1$, уравнение (7) имеет вид:

$(1+y)^3-y^3=A^3, \qquad y>A \geq 3. \qquad$ (11)
$A$ - нечётное число, по определению. Уравнение (11) не имеет решения в целых числах $(y, A)$.

А где доказательство того, что уравнение (11) не имеет решений? Вы полагаете, это очевидно? На самом деле, это доказать ничуть не проще, чем доказать ВТФ для $n=3$.

[gennady]

Продолжение темы.

5. $d$ - нечётное число, $A$ - чётное число.

Согласно (33), (35) и (36), числа $(a, b)$ равны:

$a \cdot b=2d^3, \qquad a=d^3, \qquad b=2. \qquad$ (37)

Так как $d>A>V \geq 3$, то $a>b$. С учётом (36) и (37), числа $(s, r)$ равны:

$s=d^6-8, \qquad r=d^6+8. \qquad$ (38)

С учётом (38), решение (34) имеет вид:

$3y=2d^2+d-4. \qquad$ (39)

Согласно (39), $y$ целое число при условии

$d=3A, \qquad$ (40)

Кроме того, должно выполняться хотя бы одно из неравенств:

$d-4=3A_2, \qquad d^2-2=3A_3. \qquad$ (41)

$(A_1, A_2, A_3)$ - нечётные числа.
С учётом (40), равенства (41) примут вид:

$3(A_1-A_2)=4, \qquad 3(3A_1^{2}-A_3)=2. \qquad$ (42)

Для нечётных чисел $(A_1, A_2, A_3)$ справедливы равенства:

$A_1-A_2=2m, \qquad 3A_1^{2}-A_3=2n. \qquad$ (43)

С учётом (43), равенства (42) имеют вид: $3m=2, \qquad 3n=1$. Для целых чисел $(m, n)$ данные равенства невыполнимы. Итак, если $d$ нечётное число, то согласно (34) и (39), решение для $y$ не является целым числом.
С учётом (33) и (38), получим уравнение для нечётного числа $d$:

$d^6-7d^3+(3A^3-8)=0. \qquad$ (44)

Уравнение (44) имеет решения:

$2d^3=7 \pm \sqrt{81-12A^3}. \qquad$ (45)

Так как $A>V \geq 3$, то $12A^3>81$. Следовательно, уравнение (44) не имеет вещественных решений. Итак, $d$ не может быть нечётным числом.

6. $d$ - чётное число, $A$ - нечётное число.
Чётное число $d$ представим в общем виде:

$d=2^{N} \cdot A_o, \qquad N \geq 1, \qquad A_o \geq 3. \qquad$ (46)
$A_o$ - нечётное число.
Согласно (33), (36) и (46), числа $(a, b)$ равны:

$a \cdot b=2^{3N+1} \cdot A_o^3, \qquad a=A_o^3, \qquad b=2^{3N+1}. \qquad$ (47)

С учётом (47), числа $(s, r)$ равны:

$s= \pm (A_o^6-2^{3(2N+1)}), \qquad r=(A_o^6+2^{3(N+1)}). \qquad$ (48)

А. При условии $a^2>2b^2$, решение (34) есть:

$3y=2A_o^2+2^{N} \cdot A_o-2^{2(N+1)}. \qquad$ (49)

Согласно (49), $y$ целое число при условии:

$A_o=3A_1. \qquad$ (50)

Кроме того, должно выполняться хотя бы одно из неравенств:

$A_o-2^{N+2}=3A_2, \qquad A_o^2-2^{2N+1}=3A_3. \qquad$ (51)

$(A_1, A_2, A_3)$ - нечётные числа. С учётом (50), равенства (51) примут вид:

$3(A_1-A_2)=2^{N+2}, \qquad 3(3A_1^2-A_3)=2^{2N+1}. \qquad$ (52)

Для нечётных чисел $(A_1, A_2, A_3)$ справедливы равенства:

$A_1-A_2=2m, \qquad 3A_1^2-A_1=2n. \qquad$ (53)

С учётом (53), равенства имеют вид:

$3m=2^{N+1}, \qquad 3n=2^{2N}. \qquad$ (54)

Для целых чисел $(m, n)$ равенства (54) невыполнимы. Итак, если $d$ чётное число, то согласно (34) и (49), решение для $y$ не является целым числом.
С учётом (33) и (48), получим уравнение для нечётного числа $A_o$:

$A_o^6-7 \cdot 2^{3N} \cdot A_o^3-(2^{3(2N+1)}-3A^3)=0. \qquad$ (55)

Уравнение (55) имеет решения:

$A_o^3=7R \pm \sqrt{81R^2-3A^3}, \qquad R=2^{3N-1}. \qquad$ (56)

При условии $A^3>27R^2$, уравнение (55) не имеет вещественных решений. При условии $32R^2>3A^3$, уравнение (55) имеет одно решение, а при условии $81R^2>3A^3>32R^2$, два положительных решения.

В. При условии $2b^2>a^2$, уравнения для $(y, A_o)$ имеют вид:

$3y=2^{2(N+1)}+2^{N} \cdot A_o-2A_o^2. \qquad$ (57)

$A_o^6+7 \cdot 2^{3N} \cdot A_o^3-(2^{3(2N+1)}+3A^3)=0. \qquad$ (58)

Для уравнения (57 должно выполняться условие (50). Кроме того, должно выполняться хотя бы одно из равенств:

$2^{N+2}+A_o=3A_2, \qquad 2^{2N+1}-A_o^2=3A_3. \qquad$ (59)

С учётом (50), равенства (59) примут вид:

$3(A_2-A_1)=2^{N+2}, \qquad 3(3A_1^2+A_3)=2^{2N+1}. \qquad$ (60)

Для нечётных чисел $(A_1, A_2, A_3)$ справедливы равенства:

$A_2-A_1=2m, \qquad 3A_1^2+A_3=2n. \qquad$ (61)

Для целых чисел $(m, n)$ равенства (62) невыполнимы. Итак, если $d$ чётное число, то согласно (34), (49) и (57), решение для $y$ также не является целым числом.
Уравнение (58) имеет одно положительное решение:

$A_o^3= \sqrt{81R^2+3A^3}-7R, \qquad R=2^{3N-1}. \qquad$ (63)

[nnosipov]

gennady в сообщении #655782 писал(а):

Продолжение темы.

Это неинтересно. Вы совершаете те же ошибки, что и в предыдущей своей теме. Ну, и новые дыры в Ваших рассуждениях появляются (см. мой пост выше). Вы их заделывать собираетесь?

[gennady]

P.S. Пропущенное выражение (62).

С учётом (61), равенства (60) имеют вид:

$3m=2^{N+1}, \qquad 3n=2^{2N}. \qquad$ (62)

Для целых чисел $(m, n)$ равенства (62) невыполнимы.

Продолжение темы.

7. Рассмотрим решения (56) и (63). Введем обозначения:

$P_{1,2}^2=R^2 \mp (\frac{A}{3})^3. \qquad$ (64)

Знак $(-)$ относится к $P_1$, знак $(+)$ относится к $P_2$.
Если $A=3C_{1,2}, \qquad (C_1, C_2)$ - нечётные числа, то $(P_{1}^2, P_{2}^2)$ целые числа. В этом случае, $(P_1, P_2)$ или целые числа, или иррациональные величины.
А. Рассмотрим уравнение

$R^2-P_{1}^2=C_{1}^2, \qquad R=2^{3N-1} \qquad$ (65)

$R$ чётное число, $(P_1,C_1)$ нечётные числа, $R>P_1, \qquad R>C_1, \qquad P_{1}^2 \neq C_{1}^3$.
Целое число $C_{1}^3$ представим в виде разложения на целочисленные множители:

$C_{1}^3=V_1 \cdot U_1, \qquad U_1>V_1 \geq 1. \qquad$ (66)

$(V_1, U_1)$ - целочисленные множители, на которые можно разложить целое число $C_{1}^3$, при условии $U_1>V_1 \geq 1$. $(V_1, U_1, C_1)$ - нечётные числа, по определению.
С учётом (66), уравнение (65) можно представить в виде системы двух уравнений [3]:

$R-P_1=V_1, \qquad R+P_1=U_1. \qquad$ (67)

Из уравнений (67), имеем решения:

$2R=U_1+V_1, \qquad 2P_1=U_1-V_1. \qquad$ (68)

Рассмотрим решение (68) для $R=2^{3N-1}$:

$V_1+U_1=2^{3N}. \qquad$ (69)

Так как $(V_1, U_1)$ нечётные числа, поэтому равенство (69) можно записать в виде:

$m+n+1=2^{3N-1}, \qquad m \geq 1, \qquad n \geq 1. \qquad$ (70)

В (70), $(m, n)$ целые числа разной чётности. Представим равенство (70) для $i$- го шага итерации:

$m_i+n_i+1=2^{3N-1-i}, \qquad i=(1,3N-2). \qquad$ (71)

Для шага итерации $i=3N-2$, равенство (71) имеет вид:

$m_{3N-2}+n_{3N-2}=1. \qquad$ (72)

Для целых чисел $(m_{3N-2}, n_{3N-2})$ равенство (72) невыполнимо. Следовательно, для нечётных чисел $(V_1, U_1)$, равенство (69) также невыполнимо.

В. Рассмотрим уравнение

$P_{2}^2-R^2=C_{2}^3 \qquad$ (73)

$(P_2, C_2)$ - нечётные числа, $P_2>R, \qquad R^2 \neq C_{2}^3$. Целое число $C_{2}^3$ представим в виде разложения (66):

$C_{2}^3=V_2 \cdot U_2, \qquad U_2>V_2 \geq 1. \qquad$ (74)

$(V_2, U_2, C_2)$ - нечётные числа.
С учётом (74), уравнение (73) имеет решения:

$2P_2=U_2+V_2, \qquad 2R=U_2-V_2. \qquad$ (75)

Рассмотрим решение (75) для $R=2^{3N-1}$:

$U_2-V_2=2^{3N}. \qquad$ (76)

Так как $(V_2, U_2)$ нечётные числа, то равенство (76) можно записать в виде:

$m-n=2^{3N-1}, \qquad m>n \geq 1. \qquad$ (77)

В (77), $(m, n)$ целые числа одной чётности. Представим равенство (77) для $i$- го шага итерации:

$m_i-n_i=2^{3N-1-i}, \qquad m_i>n_i \geq 1, \qquad i=(1,3N-1)$ (78)

$(m_i, n_i)$ целые числа одной чётности. Для шага итерации $i=3N-1$, равенство (78) имеет вид:

$m_{3N-1}-n_{3N-1}=1. \qquad$ (79)

Для целых чисел $(m_{3N-1}, n_{3N-1})$ равенство (79) невыполнимо. Следовательно, для нечётных чисел $(V_2, U_2)$, равенство (76) также невыполнимо.
Итак, $(P_1, P_2)$ не являются целыми числами. Согласно (65) и (73), $(P_{1}^2, P_{2}^2)$ целые числа. следовательно, $(P_1, P_2)$ иррациональные числа. Таким образом, согласно (56) и (63), $A_o$ иррациональное число.
Итак, для целых чисел $(d, A), r$ - иррациональное число. Следовательно, для целых чисел $(y, d, A)$, равенство (34) невыполнимо. Таким образом, уравнение (7) не имеет решения в целых числах $(y, V, A)$ , а уравнение (1) - в целых числах $(x, y, z)$.

1. Бронштейн И. Н., Семендяев Л. А. Справочник по математике, гл. 2.4., М., Наука 1986.
2. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М., Наука 1983.
3. Овчинников Г. И. Решение уравнения Пифагора в целых числах.

[bot]

gennady, Ваши откровения никто не читает, так что Вы совершенно напрасно отмахиваетесь от nnosipovа, как от надоедливой мухи.

[nnosipov]

gennady в сообщении #655756 писал(а):

Следовательно, $r$ иррациональное число и решение (34) для $y$ не является целым числом.

Не доказано, конечно. Сколько ни говори "халва", во рту слаще не станет.

[AKM]

gennady в сообщении #655782 писал(а):

Продолжение темы.

Всякое "продолжение темы" без ответа на заданный здесь вопрос бессмыссленно.
При непоявлении оного тема будет трактоваться как Пурга.

[gennady]

Ответ смотрите в теме:

уравнение $(1+y)^3-y^3=a^3$ не имеет решения в целых числах.

Продолжение темы.

[vasili]

Уважаемый dennady1! Благодаря формулам Абеля равенства (5) и (6) справедливы только для 1-го случая ВТФ, для 3-й степени. А этот случай (для 3-й степени) многократно доказан на форуме.

-- 10.12.2012, 19:02 --

Уважаемый dennady1! Благодаря формулам Абеля равенства (5) и (6) справедливы только для 1-го случая ВТФ, для 3-й степени. А этот случай (для 3-й степени) многократно доказан на форуме.

[gennady]

Vasily!

1. Если не трудно, напишите для меня формулы Абеля, о которых Вы упоминаете.

2. Выражения (5) и (6), это следствия разложения:

$z^3-y^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)=V \cdot U$,

$(y, z)$ - целые положительные числа, $z>y>0$,

$(V, U)$ - целочисленные множители, $U>V \geq 1$.

$x^3=A^3=V \cdot U$, $A$ - целое положительное число.

[vasili]

gehhady! Для второго случая ВТФ, когда X кратно 3, числа U и V не будут взаимно простыми, а будут иметь общий делитель равный 3.

[gennady]

Vasily!

1. Где формулы Абеля?

2. В (5) и (6), $(V, U)$ - целочисленные множители и они не должны быть взаимно простыми, хотя могут быть и взаимно простыми. Если $A$ - нечётное число, то $V_1=1$ и $U_1=A^3$ взаимно простые.

[vorvalm]

М.М.Постников."Введение в теорию алгебраических чисел". стр 24
(там формулы Абеля)

[gennady]

Спасибо!