задачка по линейной алгебре

[SSSTTT]

Даны линейные функционалы $f, f_1, f_2, ..., f_n$ над линейным пространством $L$. Доказать что если из $f_1(x)=f_2(x)=...=f_n(x)=0$ следует $f(x)=0$ тогда $f$ - это линейная комбинация $f_1,f_2,...,f_n$.
Даже не знаю с какой стороны начать решение. Пытался проводить аналогии с доказательством теоремы Рисса, но ничего не получилось.

[ewert]

alcoholist в сообщении #653586 писал(а):

Вы забыли упомянуть про размерность пространства

Нет, не забыл -- размерность тут не при чём.

SSSTTT, гляньте, скажем, в Колмогорова-Фомина, там эти вопросы в разделе про линейные пространства разбираются. Я уже не помню деталей, но это утверждение в любом случае не вполне тривиально, и способ доказательства зависит от последовательности изложения курса.

[fancier]

Рассмотрите линейные отображения

$$(f_1,\ldots , f_n,f)\colon V\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$$

и

$$(f_1,\ldots , f_n)\colon V\rightarrow \mathbb{R}^{n}.$$

и воспользуйтесь тем, что по условию их ранги совпадают.

[SSSTTT]

Fancier, спасибо.

[fancier]

SSSTTT в сообщении #653808 писал(а):

Fancier, спасибо.

Пожалуйста.

На всякий случай, вот окончание доказательства.
Пусть

$$F(v):=(f_1(v),\ldots ,f_n(v),f(v)),\quad F\colon V\rightarrow \mathbb{R}^{n+1},\quad W:=\operatorname{Im}(F)\subset \mathbb{R}^{n+1}.$$

Тогда $\dim W=\dim (W\cap \mathbb{R}^n),$ где $\mathbb{R}^n$ -- подпространство $\mathbb{R}^{n+1}$, определенное условием $x_{n+1}=0.$ Тогда

$$x_{n+1}|_W=\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i|_W$$

($x_i|_W$ -- ограничение функционала на подпространство $W$). Теперь все следует из того, что

$$x_i(F(v))=f_i(v),\, x_{n+1}(F(v))=f(v)\quad \forall v\in V.$$

[Oleg Zubelevich]

topic53395.html