Матрица поворота

[serval]

Пусть задан какой-либо вектор, например, $\vec a=(1,1,1)$ и я хочу повернуть его вокруг ортогональной ему оси, например, заданной вектором $\vec b=(1,-1,0)$ на угол, например, $\pi /2$.
Как составить матрицу оператора такого поворота?

[Sonic86]

Матрица поворота в соответствующей системе координат (в $Ox'y'z'$, где $Oz'$ остается неподвижной) имеет вид

$$A=\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$\varphi$ - угол поворота по часовой стрелке, если на поворачиваемую плоскость смотреть сверху из оси $Oz'$ (по правилу буравчика короче). Находите эту матрицу там, а потом возвращаетесь в старую систему координат. Подробности ищите в учебниках аналитической геометрии (Базылев, Атанасян).

-- Пн дек 03, 2012 09:38:10 --

Я не утверждаю, что это оптимальный способ поиска матрицы, но так можно.

[ИСН]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0.B8.D1.8F

[serval]

Большое спасибо.

[alcoholist]

на угол $\theta$

$$ a\cos\theta+\frac{a\times b}{|b|}\sin\theta $$

матрицы -- это же так гадко((

[serval]

(Оффтоп)

А что есть в математике красивее матриц?

[alcoholist]

(Оффтоп)

serval в сообщении #653556 писал(а):

А что есть в математике красивее матриц?

бескоординатное изложение)

[Munin]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #653533 писал(а):

матрицы -- это же так гадко((

А по-моему, наоборот. Берём матрицу бесконечно малого поворота вокруг нужной оси, умножаем на угол, засовываем в экспоненту - красота!..

[arseniiv]

Кватернионы тоже хорошо заменяют матрицы поворота, хотя получится как раз что-то очень похожее (и неспроста) на

alcoholist в сообщении #653533 писал(а):

$$ a\cos\theta+\frac{a\times b}{|b|}\sin\theta $$

Кроме того, кватернионами намного проще делать сферическую линейную интерполяцию (SLERP), если она вдруг пригодится.

-- Пн дек 03, 2012 21:25:47 --

А ещё есть Geometric algebra, но, насколько я знаю, её реализации довольно медленные, если не учесть много частных случаев — а тогда получится всё как обычно.

[alcoholist]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #653645 писал(а):

alcoholist в сообщении #653533 писал(а):
матрицы -- это же так гадко((

А по-моему, наоборот. Берём матрицу бесконечно малого поворота вокруг нужной оси, умножаем на угол, засовываем в экспоненту - красота!..

так пожалуйста, берите оператор и суйте в экспоненту)

-- Пн дек 03, 2012 18:43:12 --

arseniiv в сообщении #653671 писал(а):

Кватернионы тоже хорошо заменяют матрицы поворота

вращают же не только в трехмерном пространстве

[arseniiv]

Тогда только векторами, но выкинуть векторное произведение и заменить внешним или ещё каким.

-- Пн дек 03, 2012 23:00:46 --

Платон как-то в переводе сказал: «Красивы симметріи матрицы поворота, да нравъ на число умноженія и сложенія зѣло коваренъ».

[alcoholist]

ага, ему Сократ, наверное, сообщил)

[Nacuott]

Если вектор задан своими координатами, то он свободен т.е. может быть расположен где угодно в пространстве.
То же относится и к оси вокруг, которой происходит вращение.
Все почему-то решили, что вращается вектор исходящий из начала координат и вокруг оси, проходящей через начало координат, хотя в постановке задачи об этом ничего не говорится.

[Munin]

alcoholist в сообщении #653679 писал(а):

так пожалуйста, берите оператор и суйте в экспоненту)

Дык, я так и делаю, а чем это не матрицы?

-- 03.12.2012 21:39:05 --

Nacuott
Если вращать свободный вектор вокруг свободной оси, то получится именно то же самое (что опять надо воспринимать как свободный вектор). Попробуйте!

[arseniiv]

Какого ещё начала координат, кстати?

-- Пн дек 03, 2012 23:55:50 --

В линейном пространстве никаких начал координат нету, да и векторы все свободные.