Задача о колебаниях струны, закреплённой на концах

[wronskian]

Здравствуйте! Столкнулся с позорной для третьекурсника проблемой. Дана обычная задача, решаемая методом Фурье, но до конца довести не могу.
Задача:

$\[\begin{array}{l} {u_{tt}} = {u_{xx}} + 3u + 9\sin x + \sin 2x,\quad 0 < x < \pi \\ {\left. u \right|_{t = 0}} = \sin 2x\quad {\left. u \right|_{x = 0}} = 0\\ {\left. {{u_t}} \right|_{t = 0}} = 0\quad \quad {\left. u \right|_{x = \pi }} = 0 \end{array}\]$

Понятно, что \[u = v + w\]$. $\[w\]$ находится методом Фурье, и получаем, что $\[w = \cos 2t\sin 2x\]$. А вот с $\[v\]$ возникли проблемы. Для неё я получил следующую задачу:

$\[\begin{array}{l} {v_{tt}} = {v_{xx}} + 3v + 9\sin x + \sin 2x,\quad 0 < x < \pi \\ {\left. v \right|_{t = 0}} = 0\quad {\left. v \right|_{x = 0}} = 0\\ {\left. {{v_t}} \right|_{t = 0}} = 0\quad \quad {\left. v \right|_{x = \pi }} = 0 \end{array}\]$

Затруднение вызывает то, что в самом уравнении "сидят" собственные функции. Их раскладывать в ряд Фурье по ним же самим я думаю смысла не имеет, и решил рассмотреть 3 случая: $\[n = 1,\;n = 2,\;n \ge 3\]$. Так как $\[v = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{T_n}(t)\sin nx} \]$, то подставляя в уравнение этот ряд, получим:

$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{T''}_n}} \sin nx = \sum\limits_{n = 1}^\infty { - {n^2}{T_n}\sin nx + 3\sum\limits_{n = 1}^\infty {{T_n}\sin nx + 9\sin nx + \sin 2x} } \]$.

Далее уже рассматриваю каждый из трёх случаев отдельно:
$\[n = 1\]$:
$\[{{T''}_1} = - {T_1} + 3{T_1} + 9\]$, значит $\[{T_1} = {C_1}{e^{t\sqrt 2 }} + {D_1}{e^{ - t\sqrt 2 }} - \frac{9}{2}\]$.

$\[n = 2\]$:
$\[{T_2}^{\prime \prime } = - 4{T_2} + 3{T_2} + 1\]$, значит $\[{T_2} = {C_2}\cos t + {D_2}\sin t + 1\]$.

Наконец, $\[n \ge 3\]$:
$\[{T_n}^{\prime \prime } = - {n^2}{T_n} + 3{T_n}\;\; \Rightarrow \;\;{T_n}^{\prime \prime } = {T_n}(3 - {n^2})\]$, значит $\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {({C_n}\cos t\sqrt {3 - {n^2}} + {D_n}\sin t\sqrt {3 - {n^2}} )} \]$.

Далее находим общее решение как сумму частных:

$\[v(x,t) = ({C_1}{e^{t\sqrt 2 }} + {D_1}{e^{ - t\sqrt 2 }} - \frac{9}{2})\sin x + ({C_2}\cos t + {D_2}\sin t + 1)\sin 2x + \sum\limits_{n = 3}^\infty {({C_n}\cos t\sqrt {3 - {n^2}} + {D_n}\sin t\sqrt {3 - {n^2}} )} \sin nx\]$.

Удовлетворяем начальным условиям:
$\[v(x,0) = ({C_1} + {D_1} - \frac{9}{2})\sin x + ({C_2} + 1)\sin 2x + \sum\limits_{n = 3}^\infty {{C_n}} \sin nx\]$
$\[{v_t}(x,0) = ({C_1}\sqrt 2 - {D_1}\sqrt 2 )\sin x + ({D_2} - {C_2})\sin 2x + \sum\limits_{n = 3}^\infty {{D_n}} \sin nx\]$. Вот тут я и застрял. Откуда достать все эти коэффициенты: $\[{C_1},{D_1},{C_2},{D_2}\]$ ? Верно же то, что останутся только они, а $\[n\]$-ые будут нулями? Стыдно, но у меня ступор. Направьте в нужную сторону, пожалуйста. Спасибо заранее!

[tarasinho_318]

Т_і(0)=0 і Т_і^'(0)=0 з початкових умов на функцію v для всіх значень і. Звідси отримуємо коефіцієнти С_і і D_i

[Munin]

Уравнения, которые вы пишете после "удовлетворяем начальным условиям", тоже надо рассмотреть отдельно для всех $n,$ сиречь для 1, 2 и от 3 и далее.

[wronskian]

Munin
но разве $C_n$ и $D_n$ в рядах при $n \ge 3$ не будут равны нулю?

[tarasinho_318]

Будут

[Toucan]

tarasinho_318, устное замечание за неиспользование $\TeX$ при наборе формул.
Также обращаю Ваше внимание, что рабочими языками форума являются русский и английский:

Forum Administration в Правилах форума писал(а):

I. Нарушения и санкции

1) Нарушением считается:
...
о) Ведение обсуждений на языке, отличном от русского и английского. Использование других языков (белорусский, украинский, болгарский, польский и т.д.) допускается только в исключительных случаях по согласованию с модератором или в цитатах материалов на соответствующих языках при условии перевода или пересказа существенных для понимания фрагментов.

[wronskian]

$\[({C_1} + {D_1} - \frac{9}{2})\sin x + ({C_2} + 1)\sin 2x + \sum\limits_{n = 3}^\infty {{C_n}\sin nx} = 0\]$ и
$\[({C_1}\sqrt 2 - {D_1}\sqrt 2 )\sin x + {D_2}\sin 2x + \sum\limits_{n = 3}^\infty {{D_n}\sin nx} = 0\]$
Далее, если снова рассматривать для каждого $n=1, n=2, n \ge 3$, то:
Для $n=1$ получаю систему на $C_1, D_1$, откуда $C_1 = D_1 = \frac 94$
Для $n=2$ получаю $C_2=-1, D_2=0$
Для $n \ge 3 C_n =0, D_n =0$ так ведь?

В итоге получается функция $\[v(x,t) = \left( {\frac{9}{4}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{4}{e^{ - t\sqrt 2 }}} \right)\sin x + (1 - \cos t)\sin 2x\]$, но она не удовлетворяет начальным условиям. Что я делаю не так? Очень сильно чувствую, что ошибка очевидная и находится прямо перед глазами

[Munin]

Вы $-\tfrac{9}{2}$ потеряли, переписывайте внимательнее.

[wronskian]

Перерешал всё заново. Получил следующее:

$\[v = (\frac{9}{4}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{4}{e^{ - t\sqrt 2 }} - \frac{9}{2})\sin x + (1 - \cos t)\sin 2x\]$

$\[w = \cos 2t\sin 2x\]$

По отдельности они каждое своей задаче удовлетворяют, но вот сумма..

$\[u = (\frac{9}{4}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{4}{e^{ - t\sqrt 2 }} - \frac{9}{2})\sin x + (1 - \cos t)\sin 2x + \cos 2t\sin 2x\]$

Подставляя искомую $\[u(x,t)\]$ в исходную задачу, одно слагаемое не совпадает в правой части, сначала покажу производные:
$\[{u_{tt}} = (\frac{9}{2}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{2}{e^{ - t\sqrt 2 }})\sin x + \cos t\sin 2x\]$
$\[{u_{xx}} = - (\frac{9}{4}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{4}{e^{ - t\sqrt 2 }} - \frac{9}{2})\sin x - 4(1 - \cos t)\sin 2x - 4\cos 2t\sin 2x\]$

Так как должно выполняться $\[{u_{tt}} = {u_{xx}} + 3u + 9\sin x + \sin 2x\]$, то:

$\[(\frac{9}{2}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{2}{e^{ - t\sqrt 2 }})\sin x + \cos t\sin 2x\ = \[(\frac{9}{2}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{2}{e^{ - t\sqrt 2 }})\sin x + \cos t\sin 2x = \\ = ( - \frac{9}{4}{e^{t\sqrt 2 }} - \frac{9}{4}{e^{ - t\sqrt 2 }} + \frac{9}{2})\sin x - 4\sin 2x + 4\cos t\sin 2x - 4\cos 2t\sin 2x + 3(\frac{9}{4}{e^{t\sqrt 2 }} + \\ + \frac{9}{4}{e^{ - t\sqrt 2 }} - \frac{9}{2})\sin x + 3\sin 2x - 3\cos t\sin 2x + 3\cos 2t\sin 2x + 9\sin x + \sin 2x\]$
Приведя подобные, получу:
$\[(\frac{9}{2}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{2}{e^{ - t\sqrt 2 }})\sin x + \cos t\sin 2x = (\frac{9}{2}{e^{t\sqrt 2 }} + \frac{9}{2}{e^{ - t\sqrt 2 }})\sin x + \cos t\sin 2x -\\ - \cos 2t\sin 2x\]$
Вот и лишнее слагаемое $\[ - \cos 2t\sin 2x\]$

(Оффтоп)

PS. Да, извиняюсь, что с ошибками переписываю, видать время суток сказывается

[Munin]

То, что с ошибками переписываете - это не для меня проблема, а для вас. При этом вы получаете ответ с ошибками, и ваши собственные проверки он не проходит. Например, на этот раз вы забыли производную от третьего слагаемого в выражении для $u_{tt}.$

Беглости в выкладках сразу не достичь. Поэтому не стройте из себя крутого, а делайте всё аккутарно, трудоёмко, но надёжно. Пишите аккуратным убористым почерком, строго по порядку. Выписывайте отдельно подстановки и новые переменные, обводите и подчёркивайте промежуточные результаты, если придётся таскать за собой громоздкое подвыражение - обозначьте его, чтобы не накопить ошибок при многократном переписывании. Следите за потерей слагаемых, ошибками в знаке, в степени, при раскрытии скобок, при переносе на другую сторону знака равенства. Не ленитесь лишний раз переписать выражение, если даже действие простое, и вы можете понадеяться сделать его в уме. Проглядывайте повторно каждый шаг выкладок для проверки, а крупные этапы - проверяйте серьёзно, подстановкой, рисованием графиков и т. п.