Диффур. Потеря решений в следствии деления

[ИСН]

Во-первых, нет: я никогда никому никакой литературы не советую. Во-вторых, у меня впечатление, что Вы в данном случае интересуетесь несуществующей проблемой, о которой поэтому вряд ли где-то можно почитать.

[Limit79]

ИСН
Я где-то видел, что так делают, и вылезают всякие решения типа $y=0$.

Проблема таки существенна, ибо решения то могу потерять.

[ИСН]

Я где-то видел людей с пёсьими головами.

-- Ср, 2012-11-28, 23:04 --

И кто это там вылезает? Сначала Вас беспокоила потеря решений. Естественно, решение y=0 может быть потеряно при делении на y. Но это же вроде о другом...

[venco]

А давайте рассмотрим уравнение $xy'=1$
Стандартное решение - делим на $x$ и интегрируем.
Получается: $y=\ln{|x|}+C$
На самом же деле мы действительно потеряли более общее решение:

$$y=\begin{cases} \ln(x)+C_1,&x>0\\ \ln(-x)+C_2,&x<0 \end{cases}$$

[ИСН]

Здесь деление на x ни при чём совершенно. Ваше общее решение было решением как до деления, так и после. Здесь скорее надо считать, что вид неопределённого интеграла $\int f(x)dx=F(x)+C$ - это упрощение, на самом же деле под $C$ следует понимать кусочно-постоянную функцию с возможными разрывами там же, где они у $F(x)$.

[Someone]

Да и вообще $y=\ln x+C$ и $y=\ln(-x)+C$ нужно считать за два разных решения, никак между собой не связанных. Ведь ни одно решение здесь через точку $x=0$ не продолжается.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Вот что значит решать собственно уравнение, а не задачу Коши