Показать, что предел есть дельта функция

[Nimza]

Возникло затруднение, как показать, что

$$ \lim\limits_{t \to +0} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) f_{n}(y) e^{-a_n t} = \delta(x-y), $$

где $f_{n}$ --- полная ортонормированная система функций и $a_n \to + \infty$? Можно считать, что при $t \neq 0$ ряд сходится поточечно.

[Padawan]

Nimza в сообщении #649162 писал(а):

где $f_{n}$ --- полная ортонормированная система функций

В каком пространстве?

[Nimza]

Padawan, например, $\mathcal{L}^{2}[a,b]$.

[Oleg Zubelevich]

1)и что это тогда за аргумент у $\delta$ такой? (студент совсем не думает)
2)домнажаем сумму на $\psi\in\mathcal{D}(a,b)$ интегрируем, переходим к пределу ( там еще какие-нибудь условия на ряд нужны что бы его можно было интегрировать почленно)

[Nimza]

1) Чем мой аргумент Вам не угодил.
2) Умножили на $\varphi(x)$, проинтегрировали по $x$, получили

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_{n} f_{n}(y) e^{-a_{n} t} $$

При всех $t \in [0,\varepsilon)$ ряд сходится (при $t = 0$ это ряд Фурье), но почему можно перейти к пределу, у нас разве равномерная сходимость по $t \in [0,\varepsilon)$?

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #649281 писал(а):

Чем мой аргумент Вам не угодил.

думайте

Nimza в сообщении #649281 писал(а):

При всех $t \in [0,\varepsilon)$ ряд сходится

не факт, там еще другой аргумент есть

Nimza в сообщении #649281 писал(а):

но почему можно перейти к пределу, у нас разве равномерная сходимость по $t \in [0,\varepsilon)$?

я думаю, что к пределу надо переходить в $L^2$

вообще в задаче проблемы с условием

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #649279 писал(а):

и что это тогда за аргумент у $\delta$ такой?

Аргумент у дельта-функции -- ровно тот, какой должен быть.

В определённом смысле это утверждение банально: оператор, ядро которого стоит в левой части, безусловно, сильно стремится к единичному. Но сильная сходимость (т.е. сходимость результата действия этого оператора на пробную функцию по норме) -- это не совсем то, что требуется для сходимости в смысле обобщённых функций, т.е. при каждом иксе. Боюсь, что последнего и не доказать без наложения на азисные функции каких-то дополнительных ограничений.

[Nimza]

Oleg Zubelevich в сообщении #649284 писал(а):

думайте

Строго условие надо было бы так записать

$$ \lim\limits_{t \to + 0} \int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) f_{n}(y)e^{-a_n t} \varphi(x) dx = \varphi(y) $$

для $\vaprhi \in \mathcal{D}(a,b)$.

Oleg Zubelevich в сообщении #649284 писал(а):

не факт

То есть, Вы хотите сказать, что формула неверна?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #649287 писал(а):

Аргумент у дельта-функции -- ровно тот, какой должен быть.

а то, что $x-y$ может не принадлежать отрезку Вам в голову не приходило? Т.е. вся задача определена на одном множестве , а $\delta-$ функция на другом. Ну-ну

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #649290 писал(а):

а то, что $x-y$ может не принадлежать отрезку Вам в голову не приходило?

Нет, не приходило. Это просто не имеет значения.

-- Вс ноя 25, 2012 14:15:42 --

Nimza в сообщении #649289 писал(а):

Строго условие надо было бы так записать

$$ \lim\limits_{t \to + 0} \int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) f_{n}(y)e^{-a_n t} \varphi(x) dx = \varphi(y) $$

для $\vaprhi \in \mathcal{D}(a,b)$.

Вот тут и вопрос: в каком смысле предел?... Если по норме, то он, очевидно, правильный. А вот что поточечный по игрекам -- вообще говоря, не уверен.

[Nimza]

ewert в сообщении #649287 писал(а):

Боюсь, что последнего и не доказать без наложения на азисные функции каких-то дополнительных ограничений.

Как-то странно получается. С одной стороны (Тихонов-Самарский),

$$ \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{N} f_{n}(x) f_n(y) = \delta(x-y) $$

С другой стороны,

$$ \lim\limits_{t \to +0} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) f_n(y) e^{-a_n t} $$

может и не стремиться к $\delta(x-y)$ (даже если при каждом $t > 0$ это не обобщённая функция), грубо говоря пределы по $N \to + \infty$ и по $t \to +0$ могут не переставляться.

[ewert]

Nimza в сообщении #649297 писал(а):

С одной стороны (Тихонов-Самарский),

$$ \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{N} f_{n}(x) f_n(y) = \delta(x-y) $$

Там наверняка какие-то дополнительные условия на базисные функции накладываются (а вернее, используются какие-то свойства этих функций, обусловленные особенностями соотв. краевой задачи).

[Oleg Zubelevich]

Я такую теорему видел только в комплексном анализе, кернфункция и т.д.

[ewert]

Ну а тут с самого начала было ясно, что задача где-то из функционального анализа и уж точно не из комплексного.

[Nimza]

ewert в сообщении #649292 писал(а):

Если по норме, то он, очевидно, правильный.

Мне кажется, может и предела по норме хватить для моих целей. Я обозначу для простоты

$$ G(x,y,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) f_{n}(y) e^{-a_n t} $$

Я хочу показать, что

$$ u(t,x) = \int\limits_{0}^{t}G(x,y,t-\tau)h(\tau)d\tau $$

удовлетворяет $u_{t} - u_{xx} = h(t)\delta(x-y)$. Для этого считаю для $\varphi \in \mathcal{D}$ значение $ \langle u_t - u_{xx}, \varphi \rangle $. Проблема возникает только в одном месте, в вычислении слагаемого

$$ \int\limits_{0}^{T} \int\limits_{a}^{b} \int\limits_{0}^{t} G(x,y,t-\tau) h(\tau) \varphi_{t}(t) d\tau dx dt $$

Изменяя порядок интегрирования, получаем

$$ \int\limits_{0}^{T} h(\tau) \int\limits_{a}^{b} \int\limits_{\tau}^{T} G(x,y,t-\tau) \varphi_{t}(x,t) dt dx d\tau $$

Теперь я бы очень хотел применить формулу интегрирования по частям для внутреннего интеграла, а там в нижней подстановке стоит как раз $G(x,y,+0) \varphi(\tau)$. Вот и вопрос, правда ли, что "подозрительное слагаемое", связанное с нижней подстановкой в вышенаписанном выражении равно

$$ \int\limits_{0}^{T} h(\tau) \varphi(y,\tau) d\tau = \langle h(t) \delta(x-y), \varphi(x,y) \rangle $$