Вещественные числа в курсе математического анализа

[Mitrius_Math]

Мне нужно разобраться с введением множества вещественных чисел в курсе математического анализа. Читаю учебник Зорича по данному предмету. Подход там следующий. Даётся система из 16 аксиом (9 аксиом поля, 4 аксиомы порядка, аксиома связи сложения и порядка, аксиома связи умножения и порядка, аксиома непрерывности). Говорится, что множество R, удовлетворяющее данной системе аксиом, называется множеством вещественных чисел, а его элементы - вещественными числами. Всё выглядит очень приятно. Кроме того, из данной системы аксиом легко выводится ряд хорошо известных свойств вещественных чисел, довольно легко доказывается теорема существования и единственности точных граней числового множества. Смущает то, что, упоминая операции сложения и умножения, а также отношение частичного порядка, автор учебника не определяет эти операции, не даёт правила для нахождения суммы и произведения вещественных чисел, а равно и правила их сравнения.
В связи с этим первый вопрос. Нужно ли определять данные операции и давать правило сравнения, должно ли это входить в определения операций?
Представим, что я прилетел из далёкой галактики, не изучал в школе натуральные числа, не знаком с рациональными числами, не сталкивался с тем, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, то есть не знаю иррациональных чисел. Второй вопрос, в какой-то мере связанный с первым. Как доказать, что множество R, удовлетворяющее 16 аксиомам, перечисленным в книге Зорича, эквивалентно множеству точек направленной прямой и множеству бесконечных десятичных дробей?
Пожалуйста, помогите разобраться.

[AleksandrPavlovich]

Mitrius_Math в сообщении #646797 писал(а):

Нужно ли определять данные операции и давать правило сравнения, должно ли это входить в определения операций?

Аксиомы служат не для определения операций и отношений, а для описания требуемых от свойств для изучения следствий из них. Обычно аксиомы получаются обобщением свойств конкретных систем.

Правильные вопросы для системы аксиом:
1. Существуют ли множества с операциями и отношениями, удовлетворяющие данным аксиомам? (Кстати, такие множества называются моделями системы аксиом)
2. Конкретное множество с операциями и отношениями удовлетворяет ли данным аксиомам? (Применимы ли к нему теоремы, выведенные из аксиом?)

Mitrius_Math в сообщении #646797 писал(а):

Представим, что я прилетел из далёкой галактики, не изучал в школе натуральные числа, не знаком с рациональными числами, не сталкивался с тем, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, то есть не знаю иррациональных чисел.

1. На чём же Вы тогда прилетели???
2. Надеюсь, Вы захватили с собой навык абстрактного мышления.

Mitrius_Math в сообщении #646797 писал(а):

Как доказать, что множество R, удовлетворяющее 16 аксиомам, перечисленным в книге Зорича, эквивалентно множеству точек направленной прямой и множеству бесконечных десятичных дробей?

Правильный вопрос: Как доказать, что множество точек направленной прямой и множество бесконечных десятичных дробей удовлетворяет 16 аксиомам?
(А так же пополнения множества рациональных чисел сечениями Дедекинда, фундаментальными последовательностями Коши)

Встречный риторический вопрос: а как в математике вообще что-то доказывают?

Желаю успеха!

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Oleg Zubelevich]

ну почему же, вполне правильный вопрос: все ли модели действительных чисел, удовлетворяющие аксиомам из учебника Зорича, изоморфны?

[Andrew Gubarev]

Mitrius_Math, в [1] изложение строится на основе множества бесконечных десятичных дробей. В приложении «Дальнейшее развитие теории действительных чисел» указывается возможность аксиоматического подхода и доказывается, что «Любая реализация $\{x’\}$ совокупности объектов, удовлетворяющих 17 аксиомам вещественного числа, изоморфна относительно правил сравнения, сложения и умножения изученному выше множеству $\{x\}$ бесконечных десятичных дробей.»

До выхода учебника Зорича этот материал многократно и под разными углами излагался в учебной литературе [Фихтенгольц (сечения Дедекинда), Немыцкий, Слудская, Черкасова «Курс математического анализа» (последовательности рациональных чисел), ...]. Думаю, Зоричу было просто нечего добавить к уже изложенному, поэтому он ограничился ссылками.

[1] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I. — М.: Наука, 1982. (в сети есть множество возможных мест, откуда можно скачать, поэтому ссылку не привожу)

[AleksandrPavlovich]

Oleg Zubelevich в сообщении #646873 писал(а):

ну почему же, вполне правильный вопрос: все ли модели действительных чисел, удовлетворяющие аксиомам из учебника Зорича, изоморфны?

Упс... Согласен. Добавлю, что это вопрос о полноте системы аксиом.
(Строго говоря я не написал, что вопрос из поста неправильный.)

[Xaositect]

AleksandrPavlovich в сообщении #647070 писал(а):

Упс... Согласен. Добавлю, что это вопрос о полноте системы аксиом.

Это вопрос не о полноте, а о категоричности теории.